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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 5b

b) Encontre um vetor normal a esta superfície

Passo 1

Sabemos que um vetor normal a uma superfície parametrizada phi (u , t) é dado por:

vec n = (del phi)/(del u) xx (del phi)/(del t)

Assim, nosso objetivo nesse item será calcular esse produto vetorial!

Passo 2

No item anterior, vimos que uma possível parametrização para o hiperboloide é:

phi (u , t) = (cos u cosh t , sin u cosh t , sinh t)

Então, temos que:

  1. (del phi)/(del u) = (cosh t (del)/(del u) cos u , cosh t (del)/(del u) sin u , 0) (del phi)/(del u) = (- sin u cosh t , cos u cosh t , 0)

(del phi)/(del t) = (cos u (del)/(del t) cosh t , sin u (del)/(del t) cosh t , (del)/(del t) sinh t) (del phi)/(del t) = (cos u sinh t , sin u sinh t , cosh t)

Observação: lembre-se que cosh t = (e^t + e^(- t))/(2) sinh t = (e^t - e^(- t))/(2)

Assim,

(d)/(d t) cosh t = (e^t - e^(- t))/(2) = sinh t (d)/(d t) sinh t = (e^t + e^(- t))/(2) = cosh t

Passo 3

Finalmente, temos:

(del phi)/(del u) xx (del phi)/(del u) = |[[i,j,k],[-,sin u,cosh t,cos u,cosh t,0],[cos u,sinh t,sin u,sinh t,cosh t]]| (del phi)/(del u) xx (del phi)/(del u) = (cos u cosh^2 t ; sin u cosh^2 t ; - sin^2 u cosh t sinh t - cos^2 u sinh t cosh t) (del phi)/(del u) xx (del phi)/(del u) = (cos u cosh^2 t ; sin u cosh^2 t ; - cosh t sinh t)

Resposta

Um vetor normal será (cos u cosh^2 t ; sin u cosh^2 t ; - cosh t sinh t) .

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