Considere a superfície parametrizada por

φ(r, θ) = (r * cos(θ), r * sen(θ), θ), 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 4π

c) Essa superfície é regular?

Passo 1

Intuitivamente, uma superfície é dita “regular” quando não possui bicos. Um exemplo de superfície não regular é o cone. Veja que em seu vértice há um bico.

Mas como podemos saber se uma superfície é ou não regular? Podemos olhar para o seu vetor normal. Se a superfície for contínua em todos os pontos e houver pontos em que o vetor normal é nulo, então significa que ela não é regular.

Passo 2

Para a nossa superfície, temos

φ r ,   θ = r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ ,   θ

é contínua e de classe C 1 . Além disso, encontramos no item b) que:

n → = sin ⁡ θ , - cos ⁡ θ , r

Note que não há valor de r e θ que anula n → ! Por exemplo, se r = 0 e θ = 0 , então:

n → = 0 ,   - 1 ,   0

Se r = 0 e θ = π / 2 , então:

n → = 1 ,   0,0

Observação: note que não existe θ que anule simultaneamente sin ⁡ θ e cos ⁡ θ !

Dessa maneira, a superfície é regular.

Resposta

Sim.

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