Dada G(x) = |x - 2| - |x| + 2 , expresse G(x) sem as barras de valor absoluto, se x estiver no intervalo dado: (-∞, 0)

Passo 1

Vamos analisar cada módulo separadamente e ver qual sinal deles devemos considerar de acordo com o intervalo dado. Lembre-se da definição de módulo:

x = x ,   s e   x ≥ 0 - x ,   s e   x < 0

E se temos x - a e a   ϵ   R .

x - a = x - a ,   s e   x ≥ a - x - a   ,   s e   x < a

Passo 2

Estamos considerando o intervalo ( - ∞ ,   0 ) . Agora vamos considerar cada um dos módulos.

Para | x - 2 | , temos:

x - 2 = x - 2 ,   s e   x ≥ 2 2 - x   ,   s e   x < 2

Como estamos em um intervalo onde a condição x ≤ 2   temos que considerar o caso negativo do módulo, ou seja, x - 2 = - ( x - 2 ) .

Substituindo esse módulo, a G ( x ) fica:

2 - x - x + 2

Passo 3

Agora para o outro módulo:

x = x ,   s e   x ≥ 0 - x ,   s e   x < 0

Estamos no intervalo - ∞ ,   0 . Esse intervalo satisfaz a condição de x < 0 . Então vamos ficar com x = - x

Daí a G ( x ) fica:

2 - x - - x + 2

Simplificando, temos a G x :

G x = 4

Resposta

G x = 4

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