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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 41d

Coloque na forma (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 .

x^2 + y^2 + 3 x - y = 2

Passo 1

Primeiro vamos agrupar os termos que contém x , y e as variáveis constantes:

x^2 + y^2 + 3 x - y = 2 harr (x^2 + 3 x) + (y^2 - y) = 2

Agora vamos usar as seguintes fórmulas para comparar e achar o valor de a e b :

(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2

(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2

De cara sabemos que a = x , e temos que o termo:

2 a b = 3 x harr 2 a b = 3 a harr 2 b = 3 harr b = (3)/(2)

Assim, temos que b = (3)/(2) .

Para y sabemos que a = y , e temos que o termo:

- 2 a b = - y harr - 2 a b = - a harr - 2 b = - 1 harr b = (1)/(2)

Assim, temos que b = (1)/(2) .

Vamos substituir:

(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 -> (x + (3)/(2))^2 = x^2 + 3 x + (9)/(4) -> x^2 + 3 x = (x + (3)/(2))^2 - (9)/(4)

(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 -> (y - (1)/(2))^2 = y^2 - y + (1)/(4) -> y^2 - y = (y - (1)/(2))^2 - (1)/(4)

Passo 2

Agora voltando na expressão:

(x^2 + 3 x) + (y^2 - y) = 2 harr (x + (3)/(2))^2 - (9)/(4) + (y - (1)/(2))^2 - (1)/(4) = 2 harr (x + (3)/(2))^2 + (y - (1)/(2))^2 - (1 0)/(4) = 2 harr (x + (3)/(2))^2 + (y - (1)/(2))^2 = 2 + (1 0)/(4) harr (x + (3)/(2))^2 + (y - (1)/(2))^2 = (18)/(4)

Por fim precisamos achar o valor de r , temos que:

r^2 = (18)/(4) harr r = sqrt((18)/(4)) = (3 sqrt(2))/(3)

Então pronto, achamos na forma que queríamos:

(x + (3)/(2))^2 + (y - (1)/(2))^2 = (18)/(4) harr (x + (3)/(2))^2 + (y - (1)/(2))^2 = ((3 sqrt(2))/(3))^2

Resposta

(x + (3)/(2))^2 + (y - (1)/(2))^2 = ((3 sqrt(2))/(3))^2

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