Dada f(t) = (|3 + t| - |t| - 3) / t , expresse f(t) sem as barras de valor absoluto, se t estiver no intervalo dado: [0, +∞)

Passo 1

Vamos analisar cada módulo separadamente e ver qual sinal deles devemos considerar de acordo com o intervalo dado. Lembre-se da definição de módulo:

t = t ,   s e   t ≥ 0 - t ,   s e   t < 0

E se temos t - a e a   ϵ   R .

t - a = t - a ,   s e   t ≥ a - t - a   ,   s e   t < a

Passo 2

Analisando o primeiro módulo: 3 + t

Vamos reescrevê-lo como:

3 + t = t - - 3

Agora podemos vê-lo como uma função módulo centrada em x = - 3 , ou seja:

t - ( - 3 ) = t - - 3 ,   s e   t ≥ - 3 - t - - 3   ,   s e   t < - 3

A questão nos diz para considerar o intervalo x ≥ 0 . Nesse módulo, o intervalo que a questão dá se encaixa no 1º caso, ou seja:

t - - 3 = t - - 3 = t + 3

Na nossa função ficamos com:

f t = t + 3 - t - 3 t

Passo 3

Agora para o outro módulo: t

Da definição de módulo:

t = t ,   s e   t ≥ 0 - t ,   s e   t < 0

Como estamos no intervalo x ≥ 0 , vamos considerar o 1º caso do módulo, daí o nosso módulo fica:

t = t

Agora é só reescrever a nossa função:

f t = t + 3 - t - 3 t

Simplificando:

f t = 0

Resposta

f t = 0

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