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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 49c

Se z = f ( x , y ) tem derivadas parciais de 2 ª ordem contínuas e satisfaz a equação

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0

ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas.

c) z = y 3 - 3 x 2 y

Passo 1

Vamos derivar essa função aí! A primeira derivada, em relação a x , é dada por:

∂ z ∂ x = - 6 x y

Derivando em relação a y , temos:

∂ z ∂ y = 3 y 2 - 3 x 2

Passo 2

Agora, vamos derivar ∂ z ∂ x em relação a x :

∂ 2 z ∂ x 2 = - 6 y

Derivando ∂ z ∂ y em relação em y , temos:

∂ 2 z ∂ y 2 = 6 y

Uma vez que temos as duas derivadas parciais de segunda ordem, vamos somá-las para ver se a função é harmônica!

∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = - 6 y + 6 y = 0

Resposta

A função é harmônica!

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