Se z = f(x, y) tem derivadas parciais de 2 ^ a ordem contínuas e satisfaz a equação

(∂²f / ∂x²) + (∂²f / ∂y²) = 0

ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas.

b) z = e^x * cos(y)

Passo 1

Vamos derivar essa função aí! A primeira derivada, em relação a x , é dada por:

∂ z ∂ x = e x cos ⁡ y

Derivando em relação a y , temos:

∂ z ∂ y = - e x sen ⁡ y

Passo 2

Agora, vamos derivar ∂ z ∂ x em relação a x :

∂ 2 z ∂ x 2 = e x cos ⁡ y

Derivando ∂ z ∂ y em relação em y , temos:

∂ 2 z ∂ y 2 = - e x cos ⁡ y

Uma vez que temos as duas derivadas parciais de segunda ordem, vamos somá-las para ver se a função é harmônica!

∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = e x cos ⁡ y - e x cos ⁡ y = 0

Resposta

A função é harmônica!

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