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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 49a

Se z = f ( x , y ) tem derivadas parciais de 2 ª ordem contínuas e satisfaz a equação

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0

ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas.

a) z = e x sen ⁡ y

Passo 1

Vamos derivar essa função aí! A primeira derivada, em relação a x , é dada por:

∂ z ∂ x = e x sen ⁡ y

Derivando em relação a y , temos:

∂ z ∂ y = e x cos ⁡ y

Passo 2

Agora, vamos derivar ∂ z ∂ x em relação a x :

∂ 2 z ∂ x 2 = e x sen ⁡ y

Derivando ∂ z ∂ y em relação em y , temos:

∂ 2 z ∂ y 2 = - e x sen ⁡ y

Uma vez que temos as duas derivadas parciais de segunda ordem, vamos somá-las para ver se a função é harmônica!

∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = e x sen ⁡ y - e x sen ⁡ y = 0

Resposta

A função é harmônica!

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Determine as derivadas parciais de segunda ordem f x , y = l n ⁡ ( 3 x + 5 y )
Determine as derivadas parciais de segunda ordem v = x + y 2
Mostre que a função z = x e y + y e x é uma solução da equação: ∂ 3 z ∂ x 3 + ∂ 3 z ∂ y 3 = x ∂ 3 z ∂ x∂ y 2 + y ∂ 3 z ∂ x 2∂ y
Determine as derivadas parciais de segunda ordem. f x , y = x 4 - 3 x 2 y 3
Determine as derivadas parciais de segunda ordem z = yt g ( 2 x )