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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 53

Seja f → a função vetorial definida por:

f → x ,   y ,   z = x z i → + y 1 + x 2 j → + z k →

a) Descrever a curva obtida fazendo y = 2 e z = 1 .

b) Representar nessa curva a derivada parcial ∂ f → ∂ x no ponto P 0 ( 1 ,   4 ,   1 ) .

Passo 1

a) Então pessoal, nessa questão só precisamos substituir os valores de y e z que nos foram dados na função em questão e interpretar a curva resultante, beleza? A função que nos foi dada é a seguinte:

f → x ,   y ,   z = x z i → + y 1 + x 2 j → + z k →

Fazendo y = 2 e z = 1 , teremos:

f → x ,   2 ,   1 = x i → + 2 1 + x 2 j → + 1 k →

Para melhorar a visualização:

x = x y = 2 1 + x 2 z = 1

Se observamos com cuidado o resultado que chegamos, dá pra perceber que se trata de uma parábola y = 2 1 + x 2 no plano z = 1 . Essa é a descrição solicitada pelo enunciado.

Passo 2

b) Se derivarmos parcialmente em relação a x nossa função, teremos:

f → x ,   y ,   z = x z i → + y 1 + x 2 j → + z k →

∂ f → ∂ x = z i → + 2 x y j →

E essa derivada no ponto P 0 ( 1 ,   4 ,   1 ) se torna:

∂ f → ∂ x 1 ,   4 ,   1 = 1 i → + 8 j →

E esse é o nosso resultado! 😉

Resposta

a) x = x y = 2 1 + x 2 z = 1

Parábola y = 2 1 + x 2 no plano z = 1 .

b) ∂ f → ∂ x 1 ,   4 ,   1 = 1 i → + 8 j →

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