Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 59
Dada a função , determinar sua derivada direcional no ponto , na direção da normal exterior à superfície em .
Passo 1
Pra calcular a derivada direcional do campo, a primeira coisa que vamos ter que fazer é calcular o gradiente desse campo. Bom, isso a gente sabe fazer, né? Se a nossa função for , o gradiente vai ser dado por:
Aqui a gente não tem , mas tem o , que também é uma função, igualzinho ao hahah Pra facilitar, vamos até dizer que e resolver com essa letra.
Passo 2
Bora lá! A função é:
Calculando as derivadas parciais, sem esquecer da regra da cadeia:
Assim,
E nesse ponto :
Passo 3
Para acharmos o vetor normal à superfície , vamos escrever uma função . Obtendo o gradiente dela, encontramos o vetor normal à superfície! Então vamos fazer isso.
E o valor máximo da derivada direcional vai ser igual ao módulo do gradiente! Vamos substituir o ponto na expressão:
A gente precisa do vetor unitário na direção dessa superfície. Pra isso, dividimos o gradiente pelo seu módulo.
Então o unitário é:
Passo 4
E o valor da derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente da função (ou , pros mais íntimos) e esse unitário que encontramos.
Calculando,
Desenvolvendo,