Deteremine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

f(x, y) = y^2 / x, (2,4)

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver essa atividade juntinhos

Aqui iremos encontrar a taxa de variação máxima da função:

f x , y = y 2 x

No ponto:

2,4

Primeiramente calculamos as derivadas parciais da nossa função, com isso iremos encontrar o gradiente:

∇ f x , y =   f x , f y

Depois iremos colcoar o ponto que nos foi dado nesse gradiente.

Para achar a taxa derivação máxima basta calcular o módulo do vetor gradiente. A direção da taxa máxima é a do vetor gradiente no ponto dado.

Passo 2

Temos então nossa função:

f x , y = y 2 x

A derivada parcial é encontrada derivando em relação a variável que queremos e considerando todas as outras como constante:

f x = - y 2 x 2 e f y = 2 y x

Teremos então nosso gradiente como:

∇ f x , y =   f x , f y =   - y 2 x 2 , 2 y x

Passo 3

Agora substituímos na equa��ão o ponto que foi dado:

∇ f x , y =   - y 2 x 2 , 2 y x

∇ f 2,4 = - 16 4 , 8 2 =   - 4,4

Veja que a direção de máxima variação é a:

∇ f 2,4 =   - 4,4

E a taxa máxima é a:

∇ f =   ( - 4 ) 2 + 4 2

∇ f = 32 = 4 2

Resposta

∇ f = 4 2

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