Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 60
Suponha que represente uma distribuição de temperatura no plano . Determinar uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto que se desloca, a partir de , sempre na direção e sentido de máximo crescimento de temperatura.
Passo 1
Se ele está falando em direção de máximo crescimento, só pode estar falando em uma coisa: derivada direcional! A direção de máximo crescimento da temperatura é aquela em que a derivada tem o maior módulo, sacou? Pra calcular a derivada direcional do campo, a primeira coisa que vamos ter que fazer é calcular o gradiente desse campo. Bom, isso a gente sabe fazer, né? Se a nossa função for , o gradiente vai ser dado por:
Aqui a gente não tem , mas tem o , que também é uma função, igualzinho ao hahah Pra facilitar, vamos até dizer que e resolver com essa letra.
Passo 2
Bora lá! A função é:
Calculando as derivadas parciais:
Assim,
E nesse ponto :
Passo 3
Bom, esse é o gradiente da função:
E esse gradiente é uma função , cujas componentes são as derivadas da trajetória dele em e :
Isso dá um sistema!
Resolvendo,
Ele estava inicialmente em , ou seja, quando . Assim:
Portanto, a trajetória é dada por:
E é claro que só serve pra , porque não dá pro tempo voltar pra trás, né?
Fechou!