Dada f(x) = x^2 * sen(x) . (a) Onde f é derivável? (b) f ’ é contínua em seu domínio?

Passo 1

Primeiro vamos reescrever a função sinal s g n x , para compreendermos melhor como ela se comporta. A função sinal pode ser escrita da seguinte forma:

f x = s g n x = - 1   s e   x < 0 0   s e   x = 0 1   s e   x > 0

Como nossa f(x) na verdade é o produto da função sinal com x 2 , ficará:

f x = x 2 s g n x = - x 2   s e   x < 0 x 2   s e   x ≥ 0

Passo 2

Agora vamos fazer a letra (a), para sabermos se ela é derivável ou não, vamos precisar calcular os limites pela esquerda e pela direita na definição da derivada, no ponto onde a função muda de comportamento, ou seja, no 0.

Primeiro fazemos pela esquerda:

f ' - 0 =   lim x → 0 - ⁡ f x - f ( 0 ) x - 0 = l i m x → 0 - - x 2 x = l i m x → 0 - - x = 0

f ' - 0 = 0

E agora pela direita:

f ' + 0 =   lim x → 0 + ⁡ f x - f ( 0 ) x - 0 = l i m x → 0 + x 2 x = l i m x → 0 + x = 0

f ' + 0 = 0

Como os limites existem e têm o mesmo resultado, então a função é derivável no ponto zero.

Além disso, como ela se comporta como polinômio para todos os outros valores de x, então ela é derivável em todo o domínio.

Passo 3

A letra (b) pergunta se a derivada de f é contínua em seu domínio, mas pelo resultado anterior, também já é possível dizer que a f ‘ é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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