Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 66
Dada . (a) Onde f é derivável? (b) f ’ é contínua em seu domínio?
Passo 1
Primeiro vamos reescrever a função sinal , para compreendermos melhor como ela se comporta. A função sinal pode ser escrita da seguinte forma:
Como nossa f(x) na verdade é o produto da função sinal com , ficará:
Passo 2
Agora vamos fazer a letra (a), para sabermos se ela é derivável ou não, vamos precisar calcular os limites pela esquerda e pela direita na definição da derivada, no ponto onde a função muda de comportamento, ou seja, no 0.
Primeiro fazemos pela esquerda:
E agora pela direita:
Como os limites existem e têm o mesmo resultado, então a função é derivável no ponto zero.
Além disso, como ela se comporta como polinômio para todos os outros valores de x, então ela é derivável em todo o domínio.
Passo 3
A letra (b) pergunta se a derivada de f é contínua em seu domínio, mas pelo resultado anterior, também já é possível dizer que a f ‘ é contínua em todo o seu domínio.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)