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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 68

Prove, usando a definição de uma derivada, que

underset(x -> 0)(lim) (e^(a x) - 1)/(x) = a

Passo 1

A definição de derivad é

f^' (x_0) = underset(x -> x_0)(lim) (f (x) - f (x_0))/(x - x_0)

Se comparamos ela com o limite que ele pediu:

underset(x -> 0)(lim) (e^(a x) - 1)/(x)

Vamos ter

x = x - x_0

Então devemos pegar x_0 = 0

No nosso numerador, vamos ter

e^(a x) - 1 = f (x) - f (0)

Repara que

e^(a . 0) - 1 = 1 - 1 = 0

Então, se pegarmos

f (x) = e^(a x) - 1

Vamos ter certinho a derivada em 0

underset(x -> 0)(lim) (e^(a x) - 1)/(x) = f^' (0)

Passo 2

Vamos achar a derivada de f (x)

f (x) = e^(a x) - 1

Vamos usar a regra da cadeia

f^' (x) = (e^(a x) - 1)^' = (e^(a x))^' = e^(a x) (a x)^' = a e^(a x)

Agora, vamos achar essa derivada em 0

f^' (0) = a e^(a . 0) = a e^0 = a

Passo 3

Para terminar

underset(x -> 0)(lim) (e^(a x) - 1)/(x) = f^' (0) = a

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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