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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 58

Prove que x <= arcsen x em cada x de [0,1] .

Passo 1

Vamos lá, vamos fazer que a função é da forma:

f (x) = arcsen x - x

Vamos então derivar para ver se possui ponto de máximo ou mínimo:

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função trigonométrica e do polinômio:

(arcsen x)^' = (1)/(sqrt(1 - x^2))

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Vamos calcular f^' (x) :

f^' (x) = (arcsen x - x)^' = (1)/(sqrt(1 - x^2)) - 1 = (1 - sqrt(1 - x^2))/(sqrt(1 - x^2))

Agora igualando a zero:

(1 - sqrt(1 - x^2))/(sqrt(1 - x^2)) = 0 -> 1 - sqrt(1 - x^2) = 0 -> sqrt(1 - x^2) = 1 -> (sqrt(1 - x^2))^2 = 1^2 ->

-> 1 - x^2 = 1 -> x^2 = 0 -> x = 0

Pronto, agora vamos avaliar os f (x) :

f (0) = arcsen 0 - 0 = 0

f (1) = arcsen 1 - 1 = (pi)/(2) - 1 = 0,57

Temos então um mínimo absoluto em 0 de valor 0 e nenhum máximo absoluto em [0,1] , com isso nós temos que x <= arcsen x nesse intervalo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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