Determine a derivada.

g) y = e^(3x) arctg(2x)

Passo 1

Beleza, galera? Essa questão aqui já é um pouquinho mais casca grossa que as anteriores, porque vamos misturar alguns conceitos diferentes, mas não se assusta não, é só ir com calma e passo por passo que dá tudo certo! Como a gente tem um produto de funções, já fica bem na cara que vamos usar a regra do produto. Vamos começar por ela então! A nossa derivada vai ficar assim:

d y d x = e 3 x ' a r c s e n ( 2 x ) + e 3 x a r c s e n 2 x '

Passo 2

Show de bola, agora precisamos olhar pra essas funções que vamos derivar. Isso vai exigir que a gente use a regra da cadeia, porque temos composição de várias funções! Se liga, a primeira derivada é uma exponencial, com o e sendo elevado a uma função polinomial. Lembra como fica a derivada da exponencial?

e f x ' = e f x ⋅ f ' ( x )

Então, no nosso caso,

e 3 x ' = e 3 x 3 x ' = 3 e 3 x

Além dela, a gente tem essa derivada de a r c s e n . Como já vimos na teoria, a derivada fica assim:

( a r c s e n g x ' = 1 1 - g x 2 ⋅ g ' ( x )

Aqui nessa questão, vai ficar:

a r c s e n 2 x ' = 1 1 - 2 x 2 2 x ' = 2 1 - 4 x 2

Passo 3

Beleza, agora é só a gente substituir!

d y d x = e 3 x ' a r c s e n ( 2 x ) + e 3 x a r c s e n 2 x '

Substituindo:

d y d x = ( 3 e 3 x ) a r c s e n ( 2 x ) + e 3 x 2 1 - 4 x 2

Agora dá uma arrumada na casa botando e 3 x em evidência, e aí chegamos na resposta.

d y d x = e 3 x 3 a r c s e n 2 x + 2 1 - 4 x 2

Resposta

d y d x = e 3 x 3 a r c s e n 2 x + 2 1 - 4 x 2

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