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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.2 - Ex. 1l

Determine a derivada.

l) y = e^(- 3 x) + ln (a r c t g x)

Passo 1

Essa é mais tranquila! Não tem regra do produto nem do quociente, então a única coisa que vamos ter que nos preocupar é com a regra da cadeia de cada termo. Bom, vamos por partes. A derivada da exponencial vai ser:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) f^' (x)

E assim, na nossa questão:

e^(- 3 x) = e^(- 3 x) (- 3 x)^' = - 3 e^(- 3 x)

Beleza, o outro termo é um pouquinho mais complicado, mas não tem problema. A derivada de l n é assim:

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) f^' (x)

Então o nosso caso vai ficar:

(ln (a r c t g x))^' = (1)/(a r c t g x) (a r c t g x)^'

E essa derivada de a r c t g x já estamos cansados de saber!

(ln (a r c t g x))^' = (1)/(a r c t g x) ((1)/(1 + x^2))

Passo 2

Show de bola, juntando tudo vai ficar assim, ó:

y = e^(- 3 x) + ln (a r c t g x)

Derivando:

(d y)/(d x) = - 3 e^(- 3 x) + (1)/(a r c t g x) ((1)/(1 + x^2))

Pô, essa foi muito rápida! Bora pra próxima!

Resposta

(d y)/(d x) = - 3 e^(- 3 x) + (1)/(a r c t g x) ((1)/(1 + x^2))

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