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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.2 - Ex. 1j

Determine a derivada.

j) y = (x a r c t g x)/(cos 2 x)

Passo 1

Bom, pessoal, a primeira coisa que a gente tem que ver é que estamos diante de uma fração. Pra derivar essa parada, primeiro vamos ter que usar a regra do quociente! Lembra dela? É assim:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

Então pra nossa função, vai ficar assim:

(d y)/(d x) = ((x a r c t g x)^' cos 2 x - x a r c t g x (cos 2 x)^')/((cos 2 x)^2)

A derivada de c o s 2 x é moleza de calcular. Fica assim:

(c o s 2 x)^' = - 2 s e n 2 x

O que complicou aqui é o primeiro termo, mas vem tranquilo!

Passo 2

Vamos calcular a derivada de x a r c t g x para substituir lá em cima. Pra isso, vamos primeiro usar a regra do produto:

(x a r c t g x)^' = x^' a r c t g x + x (a r c t g x)^'

(x a r c t g x)^' = a r c t g x + x (a r c t g x)^'

A derivada de a r c t g x já tá mais do que decorada, né, galera?

(a r c t g x)^' = (1)/(1 + x^2)

Então a expressão vai ficar assim:

(x a r c t g x)^' = a r c t g x + (x)/(1 + x^2)

Passo 3

Agora é só substituir tudo na derivada que estávamos calculando!

(d y)/(d x) = ((x a r c t g x)^' cos 2 x - x a r c t g x (cos 2 x)^')/((cos 2 x)^2)

Substituindo,

(d y)/(d x) = ((a r c t g x + (x)/(1 + x^2)) c o s 2 x - x a r c t g x ( - 2 s e n 2 x ))/((cos 2 x)^2)

Dando uma arrumadinha final:

(d y)/(d x) = ((a r c t g x + (x)/(1 + x^2)) c o s 2 x + 2 x ( a r c t g x ) ( s e n 2 x ))/((cos 2 x)^2)

Resposta

(d y)/(d x) = ((a r c t g x + (x)/(1 + x^2)) c o s 2 x + 2 x ( a r c t g x ) ( s e n 2 x ))/((cos 2 x)^2)

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