Determine a derivada.

j) y = xarctgx / cos2x

Passo 1

Bom, pessoal, a primeira coisa que a gente tem que ver é que estamos diante de uma fração. Pra derivar essa parada, primeiro vamos ter que usar a regra do quociente! Lembra dela? É assim:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Então pra nossa função, vai ficar assim:

d y d x = x a r c t g x ' cos ⁡ 2 x - x a r c t g x cos ⁡ 2 x ' cos ⁡ 2 x 2

A derivada de c o s 2 x é moleza de calcular. Fica assim:

c o s 2 x ' = - 2 s e n 2 x

O que complicou aqui é o primeiro termo, mas vem tranquilo!

Passo 2

Vamos calcular a derivada de x a r c t g x para substituir lá em cima. Pra isso, vamos primeiro usar a regra do produto:

x a r c t g x ' = x ' a r c t g x + x a r c t g x '

x a r c t g x ' = a r c t g x + x a r c t g x '

A derivada de a r c t g x já tá mais do que decorada, né, galera?

a r c t g x ' = 1 1 + x 2

Então a expressão vai ficar assim:

x a r c t g x ' = a r c t g x + x 1 + x 2

Passo 3

Agora é só substituir tudo na derivada que estávamos calculando!

d y d x = x a r c t g x ' cos ⁡ 2 x - x a r c t g x cos ⁡ 2 x ' cos ⁡ 2 x 2

Substituindo,

d y d x = a r c t g x + x 1 + x 2 c o s 2 x - x a r c t g x ( - 2 s e n 2 x ) cos ⁡ 2 x 2

Dando uma arrumadinha final:

d y d x = a r c t g x + x 1 + x 2 c o s 2 x + 2 x ( a r c t g x ) ( s e n 2 x ) cos ⁡ 2 x 2

Resposta

d y d x = a r c t g x + x 1 + x 2 c o s 2 x + 2 x ( a r c t g x ) ( s e n 2 x ) cos ⁡ 2 x 2

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