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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 5

Encontre as derivadas parciais de primeira ordem, ∂ f / ∂ x e ∂ f / ∂ y , da seguinte função:

f x , y = ( x y - 1 ) 2

Passo 1

Olá galera! Para determinar ∂ f / ∂ x devemos manter a variável y como uma constante e derivar a f em relação a variável x . Usaremos a regra da cadeia para calcular esta derivada.

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ( x y - 1 ) 2

= 2 ( x y - 1 ) ∙ ∂ ∂ x ( x y - 1 )

= 2 ( x y - 1 ) ( y - 0 )

= 2 y ( x y - 1 )

Passo 2

O que faremos agora? É claro que usaremos o mesmo raciocínio empregado no passo 1, mas desta vez para determinar ∂ f / ∂ y devemos manter a variável x como uma constante e derivar a f em relação a variável y . Usaremos a regra da cadeia para calcular esta derivada.

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y ( x y - 1 ) 2

= 2 ( x y - 1 ) ∙ ∂ ∂ y ( x y - 1 )

= 2 ( x y - 1 ) ( x - 0 )

= 2 x ( x y - 1 )

Resposta

∂ f ∂ x = 2 y ( x y - 1 )

∂ f ∂ y = 2 x ( x y - 1 )

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Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico das funções dadas, nos pontos indicados:a) f x ,y = 1 - x 2 - y 2 ; P 1 0 ,0 ,1eP 2 ( 1 2 , 1 2 , 2 2 )
Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico das funções dadas, nos pontos indicados:e) z = 1 x 2 + y 2 ; P 1 1 ,1 , 2 2eP 2 ( 0 ,1 ,1 )
Determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ xe∂ z ∂ y , usando a regra da cadeia z= v 2 + u 2, u = x 2 - y 2,v = e 2 x y
Determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ xe∂ z ∂ y , usando a regra da cadeia z= l 2 + m 2,l = c o s x y,m = s e n x y
Determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ xe∂ z ∂ y , usando a regra da cadeia z= ( r 2 + s ) s, r = 1 + x,s = x + y