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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 39

Dada f x = x 2 .

  1. Use uma calculadora para tabular valores de f 3 + ∆ x - f ( 3 ) ∆ x quando ∆ x   é   1 ,   0,5 ,   0,1 ,   0,01 ,   0,001 ,     e   ∆ x   é - 1 ,   - 0,5 ,   - 0,1 ,   - 0,01 ,   - 0,001 . A que f 3 + ∆ x - f ( 3 ) ∆ x parece tender quando ∆ x aproxima-se de 0?
  2. Ache f ' (3) aplicando a fórmula (4).
  3. Use uma calculadora para tabular valores de f x - f ( 3 ) x - 3 quando x   é   4 ,   3,5 ,   3,1 ,   3,01 ,   3,001   e   x   é   2 ,   2,5 ,   2,9 ,   2,99 ,   2,9999 . A que f x - f ( 3 ) x - 3 parece tender quando ∆ x aproxima-se de 3?
  4. Ache f ' (3) aplicando a fórmula (7).

Passo 1

Concluímos então que, f 3 + ∆ x - f ( 3 ) ∆ x parece tender a 6 quando ∆ x aproxima-se de 0.

Passo 2

A fórmula (4) solicitada na questão é:

f ' ( x ) = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f ( x ) = x 2 , temos:

f x 1 + ∆ x = x 1 + ∆ x 2 e

f x 1 = x 1 2

Logo, aplicando na definição:

f ' ( x ) = lim ∆ x → 0 ⁡ x 1 + ∆ x 2 - ( x 1 2 ) ∆ x

Desenvolvendo o produto notável e simplificando, temos:

f ' x = 2 x

f ' 3 = 2.3 = 6

Passo 3

Concluímos então que, f x - f ( 3 ) x - 3 parece tender a 6 quando x aproxima-se de 3.

Passo 4

A fórmula (7) solicitada na questão é:

f ' ( x ) = lim x → x 1 ⁡ f x - f ( x 1 ) x - x 1

Assumindo que f ( x ) = x 2 , temos:

Logo, aplicando na definição:

f ' ( 3 ) = lim x → 3 ⁡ x 2 - 3 2 x - 3

Desenvolvendo o produto notável, temos:

f ' ( 3 ) = lim x → 3 ⁡ x + 3 . x - 3 x - 3

Simplificando, teremos:

f ' ( 3 ) = lim x → 3 ⁡ x + 3 = 6

Resposta

  1. f 3 + ∆ x - f ( 3 ) ∆ x parece tender a 6 quando ∆ x aproxima-se de 0.
  2. f ' 3 = 6
  3. f x - f ( 3 ) x - 3 parece tender a 6 quando x aproxima-se de 3.
  4. f ' 3 = 6
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Combine o gráfico das funções mostradas em (a) a (f) com os de suas derivadas em (A) a (F).
Use a Definição 2.2 . 1 (com a mudança apropriada na notação) para obter a derivada pedida.Encontre f ' t se f t = 4 t 2 + t .
Use a Fórmula 12 para encontrar d y d x . y = 1 x
Use a Fórmula 12 para encontrar d y d x . y = 1 x + 1
Use a Fórmula 12 para encontrar d y d x . y = 1 x - 1