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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 21

Use a Definição 2.2 . 1 (com a mudança apropriada na notação) para obter a derivada pedida.

Encontre f ' t se f t = 4 t 2 + t .

Passo 1

Primeiros vamos usar a Definição 2.2 . 1 para encontrar a derivada:

f ' t = lim h → 0 ⁡ f t + h - f t h

Passo 2

Vamos então aplicar:

f ' t = lim h → 0 ⁡ f t + h - f t h = lim h → 0 ⁡ 4 t + h 2 + t + h - 4 t 2 + t h

Agora vamos manipular o limite:

lim h → 0 ⁡ 4 t + h 2 + t + h - 4 t 2 + t h = lim h → 0 ⁡ 4 t 2 + 2 t h + h 2 + t + h - 4 t 2 - t h =

= lim h → 0 ⁡ 4 t 2 + 8 t h + 4 h 2 + t + h - 4 t 2 - t h = lim h → 0 ⁡ 8 t h + 4 h 2 + h h

E por último vamos cancelar o termo h do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:

lim h → 0 ⁡ 8 t h + 4 h 2 + h h = lim h → 0 ⁡ 8 t + h + 1 = 8 t + 0 + 1 = 8 t + 1

Resposta

f ' t = 8 t + 1

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