Use a Fórmula (12) para encontrar dy / dx .

y = 1 / (x + 1)

Passo 1

Vamos usar a Fórmula 1 2 para encontrar a derivada:

(d y)/(d x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (Delta y)/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x + Delta x) - f (x))/(Delta x)

Passo 2

Vamos então aplicar:

(d y)/(d x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x + Delta x) - f (x))/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) ((1)/(x + Delta x + 1) - (1)/(x + 1))/(Delta x)

Agora vamos manipular o limite:

underset(Delta x -> 0)(lim) ((1)/(x + Delta x + 1) - (1)/(x + 1))/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) ((x + 1 - (x + Delta x + 1))/((x + Delta x + 1) (x + 1)))/(Delta x) =

= underset(Delta x -> 0)(lim) (x + 1 - (x + Delta x + 1))/((x + Delta x + 1) (x + 1)) * (1)/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (x + 1 - x - Delta x - 1)/(Delta x (x + Delta x + 1) (x + 1)) =

= underset(Delta x -> 0)(lim) (- Delta x)/(Delta x (x + Delta x + 1) (x + 1))

E por último vamos cancelar o termo Delta x do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:

underset(Delta x -> 0)(lim) (- Delta x)/(Delta x (x + Delta x + 1) (x + 1)) = underset(Delta x -> 0)(lim) (- 1)/((x + Delta x + 1) (x + 1)) = (- 1)/((x + 0 + 1) (x + 1)) = = (- 1)/((x + 1) (x + 1)) = - (1)/((x + 1)^2)

Resposta

(d y)/(d x) = - (1)/((x + 1)^2)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

40) Dada f(x) = x^3 . Use uma calculadora para tabular valores de f(2 + Δx) - f(2) / Δx quando ∆x é 1, 0,5, 0,1, 0,01, 0,001 e ∆x é -1, -0,5, -0,1, -0,01, -0,001 é é . A que f(2 + ∆x) - f(2) / ∆x pare
41) Dada f(x) = raiz(x - 3) Use uma calculadora para tabular valores de f(7 + ∆x) - f(7) / ∆x quando ∆x é 1, 0,5, 0,1, 0,01, 0,001 e ∆x é -1, -0,5, -0,1, -0,01, -0,001 é é . A que f(7 + ∆x) - f(7) / ∆
42) Dada f(x) = 10 / x^2 Use uma calculadora para tabular valores de f(5 + ∆x) - f(5) / ∆x quando ∆x é 1, 0,5, 0,1, 0,01, 0,001 e ∆x é -1, -0,5, -0,1, -0,01, -0,001 é é . A que f(5 + ∆x) - f(5) / ∆x p
A área da região limitada pela curva y = e - x , pelos eixos coordenados e pela reta x =b (b0) é uma função de b. Se f for essa função , ache f(b). Ache também lim b → ∞ ⁡ f ( b )
O volume de um solido de revolução da região limitada pela curva y = e - x , pelos eixos coordenados e pela reta x =b (b0) é uma função de b. Se g for essa função , ache g(b). Ache também lim b → ∞ ⁡