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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 16

Use a Fórmula (12) para encontrar (d y)/(d x) .

y = (1)/(x + 1)

Passo 1

Vamos usar a Fórmula 1 2 para encontrar a derivada:

(d y)/(d x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (Delta y)/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x + Delta x) - f (x))/(Delta x)

Passo 2

Vamos então aplicar:

(d y)/(d x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x + Delta x) - f (x))/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) ((1)/(x + Delta x + 1) - (1)/(x + 1))/(Delta x)

Agora vamos manipular o limite:

underset(Delta x -> 0)(lim) ((1)/(x + Delta x + 1) - (1)/(x + 1))/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) ((x + 1 - (x + Delta x + 1))/((x + Delta x + 1) (x + 1)))/(Delta x) =

= underset(Delta x -> 0)(lim) (x + 1 - (x + Delta x + 1))/((x + Delta x + 1) (x + 1)) * (1)/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (x + 1 - x - Delta x - 1)/(Delta x (x + Delta x + 1) (x + 1)) =

= underset(Delta x -> 0)(lim) (- Delta x)/(Delta x (x + Delta x + 1) (x + 1))

E por último vamos cancelar o termo Delta x do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:

underset(Delta x -> 0)(lim) (- Delta x)/(Delta x (x + Delta x + 1) (x + 1)) = underset(Delta x -> 0)(lim) (- 1)/((x + Delta x + 1) (x + 1)) = (- 1)/((x + 0 + 1) (x + 1)) = = (- 1)/((x + 1) (x + 1)) = - (1)/((x + 1)^2)

Resposta

(d y)/(d x) = - (1)/((x + 1)^2)

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