Dado que ∫ 0 1 3 x x 2 + 4 d x = 5 5 - 8 , o que é ∫ 1 0 3 u u 2 + 4 d u ?

Passo 1

Fala galera! Antes de resolvermos a questão, vamos dar uma olhada nas informações que temos. O enunciado já nos dá a integral

∫ 0 1 3 x x 2 + 4 d x = 5 5 - 8 ,

e pede para calcularmos uma outra integral:

∫ 1 0 3 u u 2 + 4 d u .

A primeira pergunta que temos que fazer é "O que mudou de uma integral para a outra?" Bem, podemos ver duas mudanças:

  • A váriavel de integração mudou de x para u .
  • Os limites da integral foram trocados, de 0 até 1 pra 1 até 0 .

Mas o que essas mudanças influenciam na resolução da questão? Vamos descobrir nos próximos passos!

Passo 2

Uma integral definida é um número que depende apenas da função e dos limites de integração. Isso significa que o símbolo usado para a váriavel de integração não importa, e podemos substituir x por qualquer outra letra sem alterar o valor da integral.

Mas o que isso quer dizer? No matematiquês é o seguinte:

∫ a b f x   d x = ∫ a b f θ   d θ = ∫ a b f u   d u .

Então, considerando o nosso problema, vamos ter que

∫ 1 0 3 u u 2 + 4 d u = ∫ 1 0 3 x x 2 + 4 d x .

Certo?

Passo 3

Agora, precisamos entender o que acontece quando invertemos o limite de integração. Basicamente, ao fazer isso, trocamos o sinal da integral. Em termos matemáticos, isso quer dizer o seguinte:

∫ a b f ( x )   d x = - ∫ b a f ( x )   d x .

Aplicando essa igualdade ao nosso problema, vamos ter que:

∫ 1 0 3 x x 2 + 4 d x = - ∫ 0 1 3 x x 2 + 4 d x = - 5 5 + 8   .

Passo 4

Já temos tudo o que precisamos para finalizar a questão. Saca só: juntando os resultados do Passo 2 e do Passo 3 sabemos que:

∫ 1 0 3 u u 2 + 4 d u = ∫ 1 0 3 x x 2 + 4 d x

e

∫ 1 0 3 x x 2 + 4 d x = - ∫ 0 1 3 x x 2 + 4 d x = - 5 5 + 8 ,

então

∫ 1 0 3 u u 2 + 4 d u =   - ∫ 0 1 3 x x 2 + 4 d x = - 5 5 + 8 .

Resposta

∫ 1 0 3 u u 2 + 4 d u = - 5 5 + 8 .

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