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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.2 - Ex. 21

Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.

∫ - 1 5 1 + 3 x d x

Passo 1

Olá, meu bom amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa querida atividade.

Aqui precisamos resolver a integral definida a partir da definição dada no Teorema 4.

Vamos lá, pelo Teorema 4 temos:

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x

onde ∆ x = b - a n e x i = a + i ∆ x

Passo 2

Temos que então achar ∆ x e x i , pela integral já sabemos que a = - 1 e b = 5 , assim:

∆ x = 5 - - 1 n = 6 n

x i = - 1 + i ∆ x = - 1 + 6 i n

Pronto, agora podemos substituir:

∫ − 1 5 1 + 3 𝑥 𝑑 𝑥 =

lim 𝑛 → ∞ ⁡ ∑ 𝑖 = 1 𝑛 ��� 𝑥 𝑖 Δ 𝑥 =

lim 𝑛 → ∞ ⁡ ∑ 𝑖 = 1 𝑛 1 + 3 − 1 + 6 𝑖 𝑛 6 𝑛 =

lim 𝑛 → ∞ ⁡ ∑ 𝑖 = 1 𝑛 1 − 3 + 18 𝑖 𝑛 6 𝑛 =

lim 𝑛 → �� ⁡ ∑ 𝑖 = 1 𝑛 − 2 + 18 𝑖 𝑛 6 𝑛 =

Passo 3

Agora vamos usar algumas propriedades de somatórios:

Aqui 𝑐   é uma constante:

∑ i = 1 n c a i = c ∑ i = 1 n a i

∑ i = 1 n c = n c

∑ i = 1 n a i + b i = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i

Temos então que:

∫ − 1 5 1 + 3 𝑥 𝑑 𝑥 =

= lim 𝑛 → ∞ ⁡ ∑ 𝑖 = 1 𝑛 − 2 + 18 𝑖 𝑛 6 𝑛

= lim 𝑛 → ∞ ⁡ 6 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑛 − 2 + ∑ 𝑖 = 1 𝑛 18 𝑖 𝑛

= lim 𝑛 → ∞ ⁡ 6 𝑛 − 2 𝑛 + 18 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑛 𝑖

Agora vamos usar a fórmula para soma de potência de inteiro positivo:

∑ i = 1 n i = n n + 1 2

Vamos aplicar então e resolver o limite:

∫ − 1 5 1 + 3 𝑥 𝑑 𝑥 =

lim 𝑛 → ∞ ⁡ 6 𝑛 − 2 𝑛 + 18 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑛 𝑖 =

Usando a propriedade:

lim 𝑛 → ∞ ⁡ 6 𝑛 − 2 𝑛 + 18 𝑛 𝑛 𝑛 + 1 2 =

Realizando a distributiva:

lim 𝑛 → ∞ ⁡ − 12 + 108 𝑛 𝑛 + 1 2 =

lim 𝑛 → ∞ ⁡ − 12 + 54 𝑛 + 1 𝑛 =

Colocando 1 𝑛 isolado:

lim 𝑛 → ∞ ⁡ − 12 + 54 1 + 1 𝑛 =

lim 𝑛 → ∞ ⁡ − 12 + 54 1 + 1 𝑛 = − 12 + 54 = 42

Resposta

∫ - 1 5 1 + 3 x d x = 42

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