Enunciado

Encontre (d [f ( x )])/(d x) se (d f ( 3 x ))/(d x) = 6 x .

Passo 1

Podemos trabalhar com a regra da cadeia e determinar (d [f ( x )])/(d x) , que equivale a f^' ( x ) , assim: vamos denominar g (x) = 3 x . Como você pode ver então, temos uma composição de f e g , do tipo f ( g (x) ) , já que temos f ( 3 x ) .

Pela regra da cadeia, escrevemos o seguinte:

(d f ( g (x) ))/(d x) = f ' ( g (x) ) * g^' ( x )

E, como definimos, isso equivale a:

(d f ( 3 x ))/(d x) = f ' ( 3 x ) * g^' ( x )

Passo 2

Temos que (d f ( 3 x ))/(d x) = 6 x e podemos obter facilmente g^' ( x ) , assim:

g^' (x) = (3 x)^' = 3

Nisso, na última expressão do Passo 1, nossa incógnita fica sendo f ' ( 3 x ) . Temos então que:

f^' (3 x) = ((d f ( 3 x ))/(d x))/(g^' ( x )) = (6 x)/(3) = 2 x

Passo 3

No enunciado, porém, nos pediram o valor pra f^' ( x ) , certo? Fazemos o seguinte: denominamos u = 3 x . Nisso, temos que x = u // 3 .

Assim, pelo que acabamos de determinar no Passo 2, podemos escrever:

f^' (3 x) = f^' (u) = 2 * (u)/(3)

Assim, aplicando x em f^' ( u ) , concluímos que:

:. f^' (x) = (2 x)/(3)

Resposta

f^' (x) = (2 x)/(3)

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