Encontre d[f(x)] / dx se df(3x)/dx = 6x .

Passo 1

Podemos trabalhar com a regra da cadeia e determinar d f ( x ) d x , que equivale a f ' ( x ) , assim: vamos denominar g x = 3 x . Como você pode ver então, temos uma composição de f e g , do tipo f ( g x ) , já que temos f ( 3 x ) .

Pela regra da cadeia, escrevemos o seguinte:

d f ( g x ) d x = f ' ( g x ) ∙ g ' ( x )

E, como definimos, isso equivale a:

d f ( 3 x ) d x = f ' ( 3 x ) ∙ g ' ( x )

Passo 2

Temos que d f ( 3 x ) d x = 6 x e podemos obter facilmente g ' ( x ) , assim:

g ' x = 3 x ' = 3

Nisso, na última expressão do Passo 1, nossa incógnita fica sendo f ' ( 3 x ) . Temos então que:

f ' 3 x = d f ( 3 x ) d x g ' ( x ) = 6 x 3 = 2 x

Passo 3

No enunciado, porém, nos pediram o valor pra f ' ( x ) , certo? Fazemos o seguinte: denominamos u = 3 x . Nisso, temos que x = u / 3 .

Assim, pelo que acabamos de determinar no Passo 2, podemos escrever:

f ' 3 x = f ' u = 2 ∙ u 3

Assim, aplicando x em f ' ( u ) , concluímos que:

∴ f ' x = 2 x 3

Resposta

f ' x = 2 x 3

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