Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 30

Nos exercícios 25 a 34, ache (d y)/(d x) .

30. x^((2)/(3)) + y^((2)/(3)) = a^((2)/(3))

Passo 1

Para resolvermos essa derivada podemos derivar a equação implicitamente:

(d)/(d x) (x^((2)/(3)) + y^((2)/(3))) = (d)/(d x) (a^((2)/(3)))

Passo 2

O lado direito, por ser uma constante, será 0:

(d)/(d x) (a^((2)/(3))) = 0

E o lado esquerdo vamos dividir em duas derivadas separadas:

(d)/(d x) (x^((2)/(3))) + (d)/(d x) (y^((2)/(3)))

Passo 3

Pegamos a derivada da esquerda para resolvermos primeiro:

(d)/(d x) (x^((2)/(3))) = (2)/(3) x^((2)/(3) - (3)/(3)) = (2)/(3) x^(- (1)/(3))

E agora a derivada da direita

(d)/(d x) (y^((2)/(3)))

Para resolvermos, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia, pois y é uma função. Derivamos a função de fora primeiro:

(d)/(d t) (t^((2)/(3))) = (2)/(3) t^(- (1)/(3))

E então substituímos t pela função de dentro, ou seja, y, e multiplicamos pela derivada dela, assim:

(2)/(3) y^(- (1)/(3)) (d)/(d x) (y) = (2)/(3) y ' y^(- (1)/(3))

Passo 4

Agora basta substituir os resultados lá no Passo 1:

(d)/(d x) (x^((2)/(3)) + y^((2)/(3))) = (d)/(d x) (a^((2)/(3)))

(2)/(3) x^(- (1)/(3)) + (2)/(3) y ' y^(- (1)/(3)) = 0

Reescrevendo ficamos com:

(2)/(3 root(3)(x)) + (2 y ')/(3 root(3)(y)) = 0

(y^')/(root(3)(y)) = - (1)/(root(3)(x))

y^' = (d y)/(d x) = - (root(3)(y))/(root(3)(x))

Resposta

(d y)/(d x) = - (root(3)(y))/(root(3)(x))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre d y d x : y = cos ⁡ cos ⁡ x
Use um CAS para encontrar d y d x : y = tg 4 ⁡ 2 + 7 - x 3 x 2 + 5 x 3 + sen ⁡ x
Encontre d y d x : y = x - 5 2 x + 1 3
Encontre d y d x : y = 1 + x 2 1 - x 2 17
Encontre d y d x : y = s en ⁡ tg ⁡ 3 x