Nos exercícios 25 a 34, ache dy/dx

30.x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3)

Passo 1

Para resolvermos essa derivada podemos derivar a equação implicitamente:

d d x x 2 3 + y 2 3 = d d x a 2 3

Passo 2

O lado direito, por ser uma constante, será 0:

d d x a 2 3 = 0

E o lado esquerdo vamos dividir em duas derivadas separadas:

d d x x 2 3 + d d x y 2 3

Passo 3

Pegamos a derivada da esquerda para resolvermos primeiro:

d d x x 2 3 = 2 3 x 2 3   -   3 3 = 2 3 x - 1 3

E agora a derivada da direita

d d x y 2 3

Para resolvermos, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia, pois y é uma função. Derivamos a função de fora primeiro:

d d t t 2 3 = 2 3 t - 1 3

E então substituímos t pela função de dentro, ou seja, y, e multiplicamos pela derivada dela, assim:

2 3 y - 1 3 d d x y = 2 3 y ' y - 1 3

Passo 4

Agora basta substituir os resultados lá no Passo 1:

d d x x 2 3 + y 2 3 = d d x a 2 3

2 3 x - 1 3 + 2 3 y ' y - 1 3 = 0

Reescrevendo ficamos com:

2 3 x 3 + 2 y ' 3 y 3 = 0

y ' y 3 = - 1 x 3

y ' = d y d x = - y 3 x 3

Resposta

d y d x = - y 3 x 3

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