Dado que ∫ 0 π sen ⁡ x d x = 2 , ache o valor médio da função identidade no intervalo [ 0 ,π ] . Ache também o valor de x para o qual ocorre o valor médio. Dê uma interpretação geométrica dos resultados.

f χ = 2 π x 1 = sen - 1 ⁡ 2 π ≈ 0,69 x 2 =π - sen - 1 ⁡ 2 π ≈ 2,45

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.7 - Ex. 19

Dado que , ache o valor médio da função identidade no intervalo . Ache também o valor de para o qual ocorre o valor médio. Dê uma interpretação geométrica dos resultados.

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função contínua num intervalo , vai existir um número dentro do intervalo para o qual:

Esse valor é considerado o valor médio da função no intervalo dado, então achamos o valor médio pela seguinte fórmula:

Passo 2

Aplicando o teorema, achamos :

Então é o valor médio da função no intervalo . Nesse caso, o valor médio ocorre pra dois valores de , sendo eles e

Passo 3

Podemos interpretar geometricamente o resultado mostrando o gráfico de no intervalo dado e seu valor médio . A área abaixo do gráfico de será exatamente a área do retângulo com base indo de e e de altura .

Perceba que, pelo teorema, as áreas e são iguais.

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que uma bola saia do repouso e após t segundos sua velocidade seja V m/s. Desprezando a resistência do ar, expresse V em termos de t como v = f(t) e ache o valor médio de f [0,2]. (sugestão :

Suponha que F seja continua em [a,b] e ∫ b a f ( x ) d x = 0 . Prove que existe pelo menos um numero c em [a,b] tal que f(c) = 0

Mostre que se g(x) = 1, o teorema ∫ b a f ( x ) g ( x ) d x = f ( x 0 ) ∫ b a g ( x ) d x , torna-se o teorema do valor médio para integrais.

Ache o valor médio da função f definida por f(x) = 49 - x ² ², no intervalo [0,7]. Faça uma figura. (Sugestão : ache o valor da integral definida, interpretando-a como a medida da área da região encer

Use int_b^a f (x) g (x) d x = f (x_0) int_b^a g (x) d x p a r a p r o v a r a d e s i g u a l d e int_(- 1 // 2)^(1 // 2) s e n^2 (pi x) c o s ( pi x ) d x = int_(- 1 // 2)^(1 // 2) c o s ( pi x ) d x