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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.7 - Ex. 19

Dado que ∫ 0 π sen ⁡ x d x = 2 , ache o valor médio da função identidade no intervalo [ 0 ,   π ] . Ache também o valor de x para o qual ocorre o valor médio. Dê uma interpretação geométrica dos resultados.

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função f contínua num intervalo [ a , b ] , vai existir um número χ dentro do intervalo para o qual:

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( b - a )

Esse valor f ( χ ) é considerado o valor médio da função no intervalo dado, então achamos o valor médio pela seguinte fórmula:

f χ = ∫ a b f x d x b - a

Passo 2

Aplicando o teorema, achamos f ( χ ) :

f χ = ∫ 0 π sen ⁡ x d x π - 0 = 2 π

Então 2 π é o valor médio da função f x = sen ⁡ x no intervalo [ 0 , π ] . Nesse caso, o valor médio ocorre pra dois valores de x , sendo eles x 1 = sen - 1 ⁡ 2 π ≈ 0,69 e x 2 =   π - sen - 1 ⁡ 2 π ≈ 2,45 .

Passo 3

Podemos interpretar geometricamente o resultado mostrando o gráfico de f x = sen ⁡ x no intervalo dado e seu valor médio 2 π . A área abaixo do gráfico de f ( x ) será exatamente a área do retângulo com base indo de 0,0 e ( π , 0 ) e de altura 2 π .

Perceba que, pelo teorema, as áreas A 1 e A 2 são iguais.

Resposta

f χ = 2 π

x 1 = sen - 1 ⁡ 2 π ≈ 0,69

x 2 =   π - sen - 1 ⁡ 2 π ≈ 2,45

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