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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.5 - Ex. 2

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.

F → x , y , z = x 2 y z   i ^ + x y 2 z   j ^ + x y z 2   k ^

Passo 1

E aii, galera!

Essa questão deu pra gente um campo vetorial:

F → x , y , z = x 2 y z   i ^ + x y 2 z   j ^ + x y z 2   k ^

E pediu pra calcularmos o rotacional e o divergente.

Dado um campo F → x , y , z = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ , calculamos o rotacional assim:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

E o divergente:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

No caso do nosso campo:

P = x 2 y z

Q = x y 2 z

R =   x y z 2

Pra resolver essa questão, vamos calcular as derivadas parciais para calcular o rotacional, e substituir na fórmula. Depois, fazemos o mesmo pro divergente.

Como vamos fazer várias derivadas parciais, vamos lembrar – quando derivamos em função de uma variável, as outras se mantém constantes!

Passo 2

(a)

A letra (a) é o rotacional.

Começando pela coordenada i ^ :

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z

Derivando:

∂ R ∂ y = ∂ x y z 2 ∂ y = x z 2

∂ Q ∂ z = ∂ x y 2 z ∂ z = x y 2

Então:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z = x z 2 - x y 2

Passo 3

A coordenada j ^ :

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x

Calculando as derivadas:

∂ P ∂ z = ∂ x 2 y z ∂ z = x 2 y

∂ R ∂ x = ∂ x y z 2 ∂ x = y z 2

Daí:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x = x 2 y - y z 2

Passo 4

E a última coordenada:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Derivando:

∂ Q ∂ x = ∂ x y 2 z ∂ x = y 2 z

∂ P ∂ y = ∂ x 2 y z ∂ y = x 2 z

E aí:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = y 2 z - x 2 z

Passo 5

Voltando pra fórmula:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

= x z 2 - x y 2 i ^ + x 2 y - y z 2 j ^ + y 2 z - x 2 z k ^

Então:

rot ⁡ F → = x z 2 - y 2 i ^ + y x 2 - z 2 j ^ + z y 2 - x 2 k ^

Passo 6

(b)

Agora falta o divergente.

Derivando P :

∂ P ∂ x = ∂ x 2 y z ∂ x = 2 x y z

Derivando Q :

∂ Q ∂ y = ∂ x y 2 z ∂ y = 2 x y z

Derivando R :

∂ R ∂ z = ∂   x y z 2 ∂ z = 2 x y z

Passo 7

O divergente fica:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

= 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z

Então:

div ⁡ F → = 6 x y z

Resposta

rot ⁡ F → = x z 2 - y 2 i ^ + y x 2 - z 2 j ^ + z y 2 - x 2 k ^

div ⁡ F → = 6 x y z

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