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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 7

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.

F x , y , z = ln ⁡ x , ln ⁡ ( x y ) , ln ⁡ ( x y z )

Passo 1

  1. O rotacional é dado como produto vetorial entre o operador

    2. ∇ = i ∂ ∂ x + j ∂ ∂ y + k ∂ ∂ z

    e o campo vetorial, então

    r o t   F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ln ⁡ x ln ⁡ ( x y ) ln ⁡ ( x y z )

    = ∂ ∂ y ln ⁡ ( x y z ) - ∂ ∂ z ln ⁡ ( x y ) i - ∂ ∂ x ln ⁡ ( x y z ) - ∂ ∂ z ln ⁡ x j + ∂ ∂ x ln ⁡ ( x y ) - ∂ ∂ y ln ⁡ x k

    = 1 x y z x z i - 1 x y z y z j + 1 x y y k

    r o t   F = 1 y , - 1 x , 1 x

    Passo 2

  2. O divergente é o produdo escalar com o mesmo operador, então

d i v   F = ∂ ∂ x ln ⁡ x + ∂ ∂ y ln ⁡ ( x y ) + ∂ ∂ z ln ⁡ ( x y z )

= 1 x + 1 x y x + 1 x y z x y

d i v   F = 1 x + 1 y + 1 z

Resposta

r o t   F = 1 y , - 1 x , 1 x

d i v   F = 1 x + 1 y + 1 z

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