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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 26

Dados A 1 , 3 2 e B 1 2 ,   2 e a função f x , y = ln ⁡ x y . Determinar o ângulo formado pelos vetores ∇ f A e ∇ f B .

Passo 1

A ideia nesse exercício será encontrar o gradiente da função que ele nos deu usando aquela formula lá da teoria. Com isso, achamos os valores de ∇ f A   e   ∇ f B . E para terminar usamos o produto escalar para encontrar o ângulo entre os dois vetores. Vamos lá!

∇ f = ∂ u ∂ x i → + ∂ u ∂ y j →

Passo 2

A expressão do f x , y é dada por:

f x , y = ln ⁡ x y

Substituindo na expressão gradiente:

∇ f = ∂ ln ⁡ x y ∂ x i → + ∂ ln ⁡ x y ∂ y j →

derivando parcialmente, temos:

∇ f = 1 x y × y   i → + 1 x y × x   j →

Logo,

∇ f = 1 x   i → + 1 y   j →

Passo 3

Agora vamos encontrar os valores de ∇ f A   e   ∇ f B . Como A 1 , 3 2 :

∇ f 1 , 3 2 = 1 1   i → + 1 3 / 2   j →

Assim,

∇ f 1 , 3 2 = 1   i → + 2 3   j →

E para B 1 2 ,   2 , temos:

∇ f 1 2 , 2 = 1 1 / 2   i → + 1 2   j →

Portanto,

∇ f 1 2 , 2 = 2   i → + 1 2   j →

Passo 4

Para finalizar, vamos usar o produto escalar para encontrar o ângulo entre os dois vetores.

u → ⋅ v → = u → v → cos ⁡ θ

Do Passo 3, temos os seguintes vetores: 1 , 2 3 e 2 , 1 2

1 , 2 3 ⋅ 2 , 1 2 = 1 , 2 3 2 , 1 2 cos ⁡ θ

Assim,

1 × 2 + 2 3 × 1 2 = 1 2 + 2 3 2   2 2 + 1 2 2   cos ⁡ θ

Fazendo as contas:

7 3 = 13 3   17 2 cos ⁡ θ

Logo,

cos ⁡ θ = 14 221

Portanto, o ângulo entre os vetores será arccos ⁡ 14 221

Resposta

arccos ⁡ 14 221

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Determinar o vetor gradiente das seguintes funções:d) z = cos ⁡ ( x y ) + 4