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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 8

Resolva a equação diferencial.

x^2 y^' + 2 x y = cos^2 x

Passo 1

Fala, galera! Bora resolver essa equação diferencial, mas primeiro, vamos ter que colocá-la na forma linear padrão:

(d y)/(d x) + P (x) y = Q (x)

É só dividir a equação por x^2 , né?

y^' + (2)/(x) y = (cos^2 x)/(x^2)

Então:

P (x) = (2)/(x) , Q (x) = (cos^2 x)/(x^(2 ))

Agora já podemos resolver usando fator integrante, beleza?

Passo 2

O fator integrante é dado pela fórmula:

I (x) = e^(int P (x) d x) = e^(int (2)/(x) d x) = e^(2 ln |x|) = e^(ln |x|^2) = |x|^2 = x^2

Agora multiplicamos nossa equação pelo fator integrante:

x^2 y^' + 2 x y = cos^2 x

Interessante, voltamos à mesma equação original. Ou seja, nem precisávamos ter trabalho calculando o fator integrante se já tivéssemos percebido antes isso daqui:

x^2 y^' + 2 x y = ( y . x^2 ) '

Isto é, o lado esquerdo da nossa equação equivale à derivada de um produto. Agora reescrevemos:

(y x^2)^' = cos^2 x

Passo 3

Beleza! Agora é só integrar:

y x^2 = int cos^2 x d x + C

Pra facilitar essa integral, usamos uma identidade trigonométrica:

y x^2 = int (1 + cos (2 x))/(2) d x + C

y x^2 = (x)/(2) + (s e n (2 x))/(4) + C

y = (1)/(2 x) + (s e n (2 x))/(4 x^2) + (C)/(x^2)

É isso aí!

Resposta

y = (1)/(2 x) + (s e n (2 x))/(4 x^2) + (C)/(x^2)

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