Resolva a equação diferencial.

x y^' + y = sqrt(x)

Passo 1

Hey, pessoal! Vamos ter que resolver essa equação diferencial. A gente poderia colocá-la na forma linear padrão:

(d y)/(d x) + P (x) y = Q (x)

Depois, poderíamos calcular quem é o fator integrante:

I (x) = e^(int P (x) d x)

pra multiplicar os dois lados da nossa equação. Mas, se você fizer isso, vai ver que vai chegar exatamente em:

x y^' + y = sqrt(x)

E por que isso acontece? Bom, quando a gente faz esse processo de procurar o fator integrante, nosso maior anseio é deixar o lado esquerdo da equação na seguinte forma:

y^' . a + y . a^' = (y a)^'

Mas, se você olhar bem pra equação do enunciado, ela já tá assim! Só que no caso, a = x , olha só:

x y^' + 1 . y = ( y x ) '

Então, reescrevendo a equação com essa nova informação, fica assim:

(y x)^' = sqrt(x)

Passo 2

Show! Agora é a hora que a gente integra!

y x = int sqrt(x) d x + C

y x = (2)/(3) sqrt(x^3) + C

y = (2)/(3) sqrt(x) + (C)/(x)

Resposta

y = (2)/(3) sqrt(x) + (C)/(x)

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