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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 5

Resolva a equação diferencial.

y^' + 2 y = 2 e^x

Passo 1

Beleza, galera? Vamos resolver essa equação diferencial, e perceba que ela já está na forma linear padrão:

(d y)/(d x) + P (x) y = Q (x) , P (x) = 2 , Q (x) = 2 e^x

Então já podemos resolver usando fator integrante, ok?

Passo 2

Show! O fator integrante é dado pela fórmula:

I (x) = e^(int P (x) d x) = e^(int 2 d x) = e^(2 x)

Multiplicamos nossa equação pelo fator integrante:

y^' e^(2 x) + 2 y e^(2 x) = 2 e^x e^(2 x)

Repare que o lado esquerdo da equação equivale à derivada do produto:

y^' e^(2 x) + 2 y e^(2 x) = (y e^(2 x))^'

Então nossa equação fica:

(y e^(2 x))^' = 2 e^(3 x)

Passo 3

Beleza! Agora é só integrar:

y e^(2 x) = int 2 e^(3 x) d x + C

y e^(2 x) = (2)/(3) e^(3 x) + C

y = (2)/(3) e^x + C e^(- 2 x)

Resposta

y = (2)/(3) e^x + C e^(- 2 x)

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