Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.2 - Ex. 22

Deduza a Eq. (8) usando o produto interno (9) e supondo que u e v são funções complexas.

Seugestão: Considere a quantidade ∫ 0 1 L u v - d x separe u e v , em suas partes reais e imaginárias, e proceda com no texto.

Passo 1

Para resolvermos essa questão nós consideramos o operador

L y = - p x y ' ' + q x y  

no intervalo 0 < x < 1 , junto com as condições de contorno

a 1 y 0 + a 2 y ' 0 = 0

b 1 y 1 + b 2 y ' 1 = 0

Passo 2

Fazendo u = ϕ + i ψ e v = ξ + i η . Se u e v satisfizerem as condições de contorno, então as partes reais e imaginárias também irão satisfazer as mesmas condições de contorno. Usando o produto interno:

u , v = ∫ 0 1 u x v - x d x

L u ,   v = ∫ 0 1 - p x u ' ' v - + q x u v - d x

= ∫ 0 1 - p x ϕ ' + i ψ ' ' v - + q x u v - d x  

= - p ( x ) ( ϕ ' + i ϕ ' ) v - | 1 0 + ∫ 0 1 p x ϕ ' + i ψ ' v - ' + q x u v -   d x

Passo 3

Fazendo a integração por partes novamente:

∫ 0 1 { p ( x ) ( ϕ ' + i ψ ' ) v - ' }   d x =

= ϕ + i ψ p x v - ' | 1 0 - ∫ 0 1 p x v - ' ' u   d x

Coletando os termos do contorno

p x ϕ ' + i ϕ ' v - - ϕ + i ϕ v - ' | 1 0 =

p x ϕ ' ξ - ϕ ξ ' + ψ ' η - ψ η ' | 1 0 =

p x ϕ ' ξ - ϕ ξ ' | 1 0 + p x ψ ' η - ψ η ' | 1 0 =

Passo 4

Como ϕ ,   ψ ,   ξ   e   η satisfazem as condições de contorno, temos que:

p x ϕ ' ξ + ψ ' η | 1 0 - p x ϕ η ' - ψ η ' | 1 0 = 0

Da mesma forma, a parte imaginaria também some. Assim:

p x ψ ' ξ - ψ ξ ' - ϕ ' η - ϕ η ' | 1 0 = 0

Passo 5

Com isso temos então:

L u ,   v = ∫ 0 1 - p x v - ' ' u + q x u v - d x  

= ( L v - ,   u - )

= u - ,   L v - -

O resultado segue a partir do fato que u - ,   L v - - = u ,   L v .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 5 , determine as autofunções normalizadas do problema dado y ' ' + λ y = 0 ,y ' 0 = 0 ,y 1 = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 5 , determine as autofunções normalizadas do problema dado y ' ' + λ y = 0 ,y 0 = 0 ,y ' 1 = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 5 , determine as autofunções normalizadas do problema dado y ' ' + λ y = 0 ,y ' ( 0 ) = 0 ,y ' 1 + y 1 = 0 ; v e j aaS e ç ã o11.1 ,P r o b l e m a8 çã
Em cada um dos problemas de 14 a 18, determine se o problema de valor de contorno dado é autoadjunto.15. ( 1 + x 2)y ' ' + 2 x y ' + y = 0 ,y ' ( 0 ) = 0 ,y ( 1 ) + 2 y ' ( 1 ) = 0
Em cada um dos problemas de 14 a 18, determine se o problema de valor de contorno dado é autoadjunto.15. y ' ' + y = λ y , y 0 - y ' 1 = 0 ,y ' 0 - y 1 = 0