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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 63

Deduza a fórmula de redução (9).

Passo 1

Devemos lembrar de algumas propriedades que dizem que a^(m + m) = a^m . a^n , então a integral de s e n^n ( x ) pode ser escrita como:

int s e n^n (x) d x = int s e n^(n - 1) (x) s e n (x) d x

Se chamarmos u = s e n^(n - 1) ( x ) e nesse caso d u = (n - 1) s e n^(n - 2) (x) cos (x) d x usando a regra da cadeia.

Podemos chamar também d v = s e n (x) d x e nesse caso v = - c o s ( x ) . Podemos usar a fórmula de integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Aplicando na fórmula, temos:

int s e n^(n - 1) (x) s e n (x) d x = (s e n^(n - 1) (x)) (- cos (x)) - int (- cos (x)) (n - 1) s e n^(n - 2) (x) cos (x) d x

Multiplicando e simplificando:

int s e n^n (x) d x = - (s e n^(n - 1) (x)) (cos (x)) + ( n - 1 ) int s e n^(n - 2) (x) cos^2 (x) d x

Podemos aplicar a identidade trigonométrica que diz que cos^2 (x) + s e n^2 (x) = 1 .

int s e n^n (x) d x = - (s e n^(n - 1) (x)) (cos (x)) + ( n - 1 ) int s e n^(n - 2) (x) ( 1 - s e n^2 (x) ) d x

Aplicando propriedade distributiva:

int s e n^n (x) d x = - (s e n^(n - 1) (x)) (cos (x)) + ( n - 1 ) int s e n^(n - 2) (x) - s e n^n (x) d x

int s e n^n (x) d x = - (s e n^(n - 1) (x)) (cos (x)) + ( n - 1 ) int s e n^(n - 2) (x) d x - ( n - 1 ) int s e n^n (x) d x

Juntando os termos semelhantes, temos:

int s e n^n (x) d x + ( n - 1 ) int s e n^n (x) d x = - (s e n^(n - 1) (x)) (cos (x)) + ( n - 1 ) int s e n^(n - 2) (x) d x

[ 1 + ( n - 1 ) ] int s e n^n (x) d x = - (s e n^(n - 1) (x)) (cos (x)) + ( n - 1 ) int s e n^(n - 2) (x) d x

Simplificando:

n int s e n^n (x) d x = - (s e n^(n - 1) (x)) (cos (x)) + ( n - 1 ) int s e n^(n - 2) (x) d x

Dividindo os dois lados por n , temos:

int s e n^n (x) d x = - (1)/(n) . (s e n^(n - 1) (x)) (cos (x)) + ((n - 1))/(n) int s e n^(n - 2) (x) d x

Resposta

int s e n^n (x) d x = - (1)/(n) . (s e n^(n - 1) (x)) (cos (x)) + ((n - 1))/(n) int s e n^(n - 2) (x) d x

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