Determine o centro de massa da região A dada

d) A = { (x, y) | x, y ∈ R | x^2 ≤ y ≤ x }

Passo 1

Para encotrarmos o centro de massa precisamos achar x c   e     y c que são descritos por:

x c = ∫ a b x g x - f x d x Á r e a   d e   A

y c = 1 2 ∫ a b g x + f x g x - f x d x Á r e a   d e   A

A figura fica assim:

Daí vamos achar uma função y   em função de x   para calcular a área:

y x = x - x 2

Agora vamos achar a Área de A:

∫ 0 1 x - x 2 d x

Vamos agora calcular.

Passo 2

∫ 0 1 x - x 2 d x = x 2 2 - x 3 3 1 0 = 1 2 - 1 3 = 3 - 2 6 = 1 6

Agora que temos a Área de A vamos achar as outras integrais:

∫ a b x g x - f x d x = ∫ 0 1 x x - x 2 d x = ∫ 0 1 x 2 - x 3 d x = x 3 3 - x 4 4 1 0 = 1 3 - 1 4

= 4 - 3 12 = 1 12

∫ a b g x + f x g x - f x d x = ∫ 0 1 x + x 2 x - x 2 d x

= ∫ 0 1 x 2 - x 4 d x = x 3 3 - x 5 5 1 0 = 1 3 - 1 5 = 2 15

Passo 3

Agora substituímos:

x c = ∫ a b x g x - f x d x Á r e a   d e   A = 1 12 1 6 = 1 2

y c = 1 2 ∫ a b g x + f x g x - f x d x Á r e a   d e   A = 1 2 2 15 1 6 = 1 2 × 12 15 = 2 5

Resposta

x c , y c = 1 2 ,   2 5

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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