Prove que uma partícula aumenta sua velocidade se a velocidade e a aceleração tiverem o mesmo sinal e diminui no caso de sinais contrários. [Sugestão: Seja r(t) = |v(t)| , e encontre r' (t) usando a regra da cadeia.]

Passo 1

Primeiro vamos ver o caso que a velocidade e a aceleração possuem o mesmo sinal temos:

Quando a velocidade e a aceleração são maiores que zero:

v t > 0

a = d v t d t > 0

Assim temos que v t é uma função crescente.

Temos também que v t + ∆ t > v t , assim a partícula está acelerando.

Agora com a velocidade e a aceleração são menores que zero:

v t < 0

a = d v t d t < 0

Temos que v t é uma função decrescente.

O que nos dá que v t + ∆ t < v t . Mas como v t está na direção negativa, o valor absoluto faz com que v t + ∆ t > v t . Portanto a partícula ainda está aumentando sua velocidade.

Passo 2

No caso 2 a velocidade e a aceleração possuem sinais diferentes.

Quando a velocidade é maior que zero e a aceleração é menor que zero:

v t > 0

a = d v t d t < 0

Consequentemente v t é uma função decrescente.

E temos que v t + ∆ t < v t , assim a partícula aqui está desacelerando.

Agora quando a velocidade é menor que zero e a aceleração é maior que zero:

v t < 0

a = d v t d t > 0

Portanto v t é uma função crescente.

E também temos que v t + ∆ t > v t .

Mas como v t está na direção negativa, o valor absoluto faz com que v t + ∆ t < v t .

Portanto a partícula ainda está diminuindo a velocidade.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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