Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 41
Prove que uma partícula aumenta sua velocidade se a velocidade e a aceleração tiverem o mesmo sinal e diminui no caso de sinais contrários. [Sugestão: Seja , e encontre usando a regra da cadeia.]
Passo 1
Primeiro vamos ver o caso que a velocidade e a aceleração possuem o mesmo sinal temos:
Quando a velocidade e a aceleração são maiores que zero:
Assim temos que é uma função crescente.
Temos também que , assim a partícula está acelerando.
Agora com a velocidade e a aceleração são menores que zero:
Temos que é uma função decrescente.
O que nos dá que . Mas como está na direção negativa, o valor absoluto faz com que . Portanto a partícula ainda está aumentando sua velocidade.
Passo 2
No caso a velocidade e a aceleração possuem sinais diferentes.
Quando a velocidade é maior que zero e a aceleração é menor que zero:
Consequentemente é uma função decrescente.
E temos que , assim a partícula aqui está desacelerando.
Agora quando a velocidade é menor que zero e a aceleração é maior que zero:
Portanto é uma função crescente.
E também temos que .
Mas como está na direção negativa, o valor absoluto faz com que .
Portanto a partícula ainda está diminuindo a velocidade.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)