Para demonstrar que s e n o é contínuo, precisamos mostrar que lim x → a ⁡ s e nx = s e na para todo número real a . Pelo exercício 63 , uma afirmação verdadeira é que lim h → 0 ⁡ s e n( a + h ) = s e na Use ( 6 ) para mostrar que isso é verdadeiro.

Enunciado

Olá, meu amigo. Vamos resolver essa atividade?

A questão fala sobre a continuidade da função , e para isso ela cita o exercício , onde devemos demonstrar que:

é continua em , se e somente se,

Agora o que a gente vai fazer, é utilizar dessa condição e de que são as equações:

Para nos ajudar a resolver esse exercício iremos utilizar a seguinte identidade trigonométrica:

Ela irá nos ajudar a utilizar a condição que vimos para provarmos o que precisamos.

Sabemos então que é continua apenas se e somente se

Então, iremos mostrar que:

Reescrevendo utilizando a propriedade do passo 1:

Podemos aplicar o limite em cada soma:

Como e são constantes, podemos retirar do limite:

agora calculando o limite:

Realizamos então a nossa prova.

Como queremos provar utilizando a relação trigonométrica e a definição , temos que