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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 64

Para demonstrar que s e n o é contínuo, precisamos mostrar que lim x → a ⁡ s e n   x = s e n   a para todo número real a . Pelo exercício 63 , uma afirmação verdadeira é que

lim h → 0 ⁡ s e n   ( a + h ) = s e n   a

Use ( 6 ) para mostrar que isso é verdadeiro.

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver essa atividade?

A questão fala sobre a continuidade da função sin ⁡ x , e para isso ela cita o exercício 63 , onde devemos demonstrar que:

f é continua em a , se e somente se,

lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) = f ( a )

Agora o que a gente vai fazer, é utilizar dessa condição e de ( 6 ) que são as equações:

lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ = 1

lim θ → 0 ⁡ sin ⁡ θ = 0

Para nos ajudar a resolver esse exercício iremos utilizar a seguinte identidade trigonométrica:

s e n   a + b = s e n a cos ⁡ ( b ) + s e n b cos ⁡ ( a )

Ela irá nos ajudar a utilizar a condição que vimos para provarmos o que precisamos.

Passo 2

Sabemos então que f é continua apenas se e somente se

lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) = f ( a )

Então, iremos mostrar que:

lim h → 0 ⁡ s e n   ( a + h ) = s e n   a

Reescrevendo utilizando a propriedade do passo 1:

s e n   a + b = s e n a cos ⁡ ( b ) + s e n b cos ⁡ ( a )

lim h → 0 ⁡ s e n   ( a + h ) = lim h → 0 ⁡ sin ⁡ a cos ⁡ h + cos ⁡ a sin ⁡ h

Podemos aplicar o limite em cada soma:

lim h → 0 ⁡ s e n   ( a + h ) = lim h → 0 ⁡ sin ⁡ a cos ⁡ h + lim h → 0 ⁡ ( cos ⁡ a sin ⁡ h )

Como sin ⁡ a e cos ⁡ a são constantes, podemos retirar do limite:

lim h → 0 ⁡ s e n   ( a + h ) = sin ⁡ a lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h + cos ⁡ a lim h → 0 ⁡ ( sin ⁡ h )

agora calculando o limite:

lim h → 0 ⁡ s e n   a + h = sin ⁡ a ∙ cos ⁡ 0 + cos ⁡ a ∙ sin ⁡ 0

lim h → 0 ⁡ s e n   a + h = sin ⁡ a

Realizamos então a nossa prova.

Resposta

Como queremos provar utilizando a relação trigonométrica e a definição ( 6 ) , temos que lim x → a ⁡ s e n   x = s e n   a

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