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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 70

Se a e b são números positivos, demonstre que a equação

f x = a x 3 + 2 x 2 - 1 + b x 3 + x - 2 = 0

Tem pelo menos uma solução no intervalo ( - 1 ,   1 )

Passo 1

Opaaa, aqui a gente tem a função:

f x = a x 3 + 2 x 2 - 1 + b x 3 + x - 2 = 0

a e b são números positivos. O que a gente precisa provar aqui que essa função tem pelo menos uma solução no intervalo ( - 1 ,   1 ) .

Pra isso a gente usa o Teorema do Valor Intermediário que diz:

No nosso caso temos:

f c = N = 0

Teremos também que:

f - 1 ≠ f 1

Para que N seja igual a zero temos que ter os sinais de f - 1 = 0 e f 1 = 0   diferentes (um positivo e um negativo). Lembrando que a e b são números positivos!

Passo 2

Vamos colocar a mão na massa! Temos:

f x = a x 3 + 2 x 2 - 1 + b x 3 + x - 2 = 0

Fazendo o mmc:

f x = a x 3 + x - 2 + b x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + x - 2 = p ( x ) q ( x ) = 0

Para que a função seja igual a zero temos que ter:

a x 3 + x - 2 + b x 3 + 2 x 2 - 1 = 0

Agora a gente vai calcular p ( - 1 ) e p ( 1 ) :

p - 1 = a - 1 3 + - 1 - 2 + b - 1 3 + 2 - 1 2 - 1  

p - 1 = - 4 a

p 1 = a 1 3 + 1 - 2 + b 1 3 + 2 1 2 - 1

p 1 = 2 b

Passo 3

Pra que pudéssemos ter p - 1 = p 1 deveríamos ter:

- 4 a = 2 b

a = - 1 2 b

Como a e b são positivos isso é impossível. Agora sim, podemos dizer que se:

p - 1 ≠ p 1

Então:

f - 1 ��� f 1

Passo 4

Vimos que:

p - 1 = - 4 a

p 1 = 2 b

Lembrando que a e b são números positivos, então p - 1 < 0 e p 1 > 0 , portanto entre x = - 1 e x = 1 temos uma raiz!

Resposta

Desenvolvimento.

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