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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 25

  1. Escreva as três primeiras e as duas últimas parcelas da soma

∑ k = 1 n 2 + k ⋅ 3 n 4 3 n

Explique por que essa soma dá a aproximação pela extremidade direita da área sob a curva y = x 4 acima do intervalo [ 2,5 ] .

b) Mostre que uma mudança adequada na variação do índice do somatório de (a) pode fornecer a aproximação pela extremidade esquerda da área sob a curva y = x 4 acima do intervalo [2, 5].

Passo 1

  1. Vamos lá, aqui temos um somatório com essa função aí, sendo que o k é a variável no intervalo de [ 1 , n ] . Sendo assim, as 3 primeiras parcelas vão ser com k = 1 ; 2 ; 3 . Vai ser então:

    2. 2 + 3 n 4 3 n ;     2 + 6 n 4 3 n ;     2 + 9 n 4 3 n

    Essas são as três primeiras! E as duas últimas? Bom, já que k vai até n , k = n é a última e k = n - 1 é a penúltima, certo?

    2 + ( n - 1 ) ⋅ 3 n 4 3 n ;     2 + n ⋅ ( 3 n 4 3 n

    = 2 + 3 ( n - 1 ) n 4 3 n   ; 2 + 3 4 3 n  

    Essas são as duas últimas!

    Passo 2

    A aproximação pela extremidade direita da área sob a curva é dada pelo somatório:

    ∑ k = 1 n f x k * Δ x

    Onde Δ x = b - a n e x k * = a + k Δ x   . No nosso caso temos f x = x 4   e   a , b = [ 2,5 ] .

    Vai ser então:

    Δ x = 5 - 2 n = 3 n

      x k * = 2 + k ⋅ 3 n

    Então a aproximação pela direita seria:

    ∑ k = 1 n 2 + k ⋅ 3 n 4 3 n

    Ou seja, exatamente o somatório do enunciado😊

    Passo 3

  2. Vamos fazer a aproximação pela esquerda agora. É calculada por:

∑ k = 1 n f x k * Δ x

Onde Δ x = b - a n e x k * = a + k - 1 Δ x . De novo a função é y = x 4 e o intervalo [ 2,5 ] . Vamos aplicar aqui:

Δ x = 5 - 2 n = 3 n

x k * = 2 + k - 1 ⋅ 3 n

Ou seja, pra usarmos o somatório da questão, basta mudarmos o índice do somatório assim:

∑ k = 1 n - 1 2 + k ⋅ 3 n 4 3 n

e... fim!

Resposta

  1. 2 + 3 n 4 3 n ;     2 + 6 n 4 3 n ;     2 + 9 n 4 3 n e 2 + 3 ( n - 1 ) n 4 3 n   ; 2 + 3 4 3 n

  2. ∑ k = 1 n - 1 2 + k ⋅ 3 n 4 3 n
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