Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.4 - Ex. 31
Demonstre cada afirmação usando a definição , de limite.
Passo 1
Nesse exercício temos que usar a definição rigorosa de limite para mostrar que
Vamos relembrar a definição de limite:
se para todo número existir um número tal que
Nesse caso, temos que , e . Assim, temos que provar que para todo , existe um tal que
Ou ainda,
Com isso formulamos nosso problema, temos que provar que para todo numéro positivo , existe um outro número positivo tal que implique . Se fizermos isso, provamos que
Passo 2
A sacada para provar isso é dar um jeito de escrever como função de de modo que
Observe o seguinte: se . Substituindo o menor valor, , e o maior valor, , possível na equação temos que
Daí podemos subtrair de todo mundo:
Portanto, se , temos que
Colocando o módulo na função, vemos que
Passo 3
Vamos usar a observação do passo anterior para terminar o problema! Queremos achar como função de tal que
Com isso, temos que
Veja que isso faz sentido: se é o mínimo entre dois números, então ele será menor ou igual a cada um desses números. Desta forma, com essa escolha de , temos que
Mas vimos no passo 2, que implica . Com isso, temos que
Com isso,
Com isso temos que
Desta forma, provamos que para todo , existe um tal que
Resposta
Demonstração.