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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 44

Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade esquerda de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado.

f x = 4 - 1 4 x 2 ; 0,3

Passo 1

Segundo a definição 5.4.3, a área sob a curva de f ( x ) em [ a , b ] , se f x ≥ 0 em [ a , b ] é dada por:

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

Onde sendo calculada pela extremidade esquerda, a gente faz:

Δ x = b - a n

x k * = a + ( k - 1 ) Δ x

Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

Δ x = 3 - 0 n = 3 n

x k * = 3 k - 1 n

Passo 2

Vamos aplicar na fórmula da área então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 4 - 1 4 3 k - 1 n 2 3 n  

A = l i m n → ∞ 3 n ∑ k = 1 n 4 - 1 4 9 k 2 - 18 k + 9 n 2  

A = l i m n → ∞ 3 n ∑ k = 1 n 4 - 9 k 2 4 n 2 + 18 k 4 n 2 - 9 4 n 2  

Separamos os somatórios...

A = l i m n → ∞ 3 n 4 ∑ k = 1 n 1 - 9 4 n 2 ∑ k = 1 n k 2 + 9 2 n 2 ∑ k = 1 n k - 9 4 n 2 ∑ k = 1 n 1  

Passo 3

Agora calculando os somatórios e simplificando...

A = l i m n → ∞ 3 n 4 n - 9 4 n 2 n n + 1 2 n + 1 6 + 9 2 n 2 n n + 1 2 - 9 4 n 2 n  

A = l i m n → ∞ 3 n 4 n - 9 24 n 2 n 2 + 3 n + 1 + 9 4 n n + 1 - 9 4 n  

A = l i m n → ∞ 3 n 4 n - 18 24 n - 27 24 + 9 4 + 9 4 n - 9 4 n  

A = l i m n → ∞ 12 - 9 4  

A = 39 4

E... é isso! Essa é a aproximação da área calculada pela extremidade da esquerda😊

Resposta

A = 39 4

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