Use a Definição 5.4.3 tomando como x_k* como o ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f(x) acima do intervalo especificado.

f(x) = x^2; [-1, 1]

Passo 1

Segundo a definição 5.4.3, a área sob a curva de f ( x ) em [ a , b ] , se f x ≥ 0 em [ a , b ] é dada por:

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

Onde sendo calculada pela extremidade esquerda, a gente faz:

Δ x = b - a n

x k * = a + ( k - 1 2 ) Δ x

Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

Δ x = 1 + 1 n = 2 n

x k * = - 1 + 2 k - 1 2 n

Passo 2

Vamos aplicar na fórmula da área então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n - 1 + 2 k - 1 2 n 2 2 n  

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n - n + 2 k - 1 n 2 2 n  

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 1 + 4 k 2 n 2 + 1 n 2 - 4 k n + 2 n - 4 k n 2 2 n  

A = l i m n → ∞ 2 n ∑ k = 1 n 1 + 4 n 2 ∑ k = 1 n k 2 + 1 n 2 ∑ k = 1 n 1 - 4 n ∑ k = 1 n k + 2 n ∑ k = 1 n 1 - 4 n 2 ∑ k = 1 n k

Passo 3

Agora calculando os somatórios e simplificando...

A = l i m n → ∞ 2 n n + 4 n 2 n n + 1 2 n + 1 6 + 1 n 2 n - 4 n n n + 1 2 + 2 n n - 4 n 2 n n + 1 2

A =   l i m n → ∞ 2 n n + 4 6 n 2 n 2 + 3 n + 1 + 1 n - 2 n + 1 + 2 - 4 2 n n + 1  

A = l i m n → ∞ 2 n n + 4 3 n + 2 + 2 3 n + 1 n - 2 n - 2 + 2 - 4 2 + 4 2 n  

A =   l i m n → ∞ 2 + 8 3 + 4 n + 4 3 n 2 + 2 n 2 - 4 - 2 n + 8 2 n

A =   l i m n → ∞ 2 - 4 + 8 3

A = 2 3

E... é isso! Essa é a aproximação da área calculada pelo ponto médio😊

Resposta

A = 2 3

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