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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 35

Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade direita de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado.

f x = x 2 ; 1,4

Passo 1

Segundo a definição 5.4.3, a área sob a curva de f ( x ) em [ a , b ] , se f x ≥ 0 em [ a , b ] é dada por:

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

Onde sendo calculada pela extremidade direita, a gente faz:

Δ x = b - a n

x k * = a + k Δ x

Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

Δ x = 3 n

x k * = 1 + 3 k n

Passo 2

Vamos aplicar na fórmula da área então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 1 + 3 k n 2   3 n  

Vamos dar uma melhorada nisso:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 3 n 2 n 2 + 9 k 2 n 2  

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 3 2 n + 9 k 2 n 2  

A = lim n → ∞ ⁡ 3 2 n ∑ k = 1 n 1 + 9 2 n 2 ∑ k = 1 n k

A =   lim n → ∞ ⁡ 3 2 n n + 9 2 n 2 n n + 1 2

A = l i m n → ∞ 3 2 + 9 n + 1 4 n

A =   l i m n → ∞ 3 2 + 9 4 + 9 4 n ⏟ 0

A = 3 2 + 9 4 = 15 4

E... é isso! Essa é a aproximação da área calculada pela extremidade da direita😊

Resposta

A = 15 4

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