Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.4 - Ex. 26
Demonstre cada afirmação usando a definição , de limite.
Passo 1
Bom galerinha!
Quando a gente tá falando de limite, não estamos no ponto , nós estamos beeem pertinho dele. Mas sobre isso a gente já tá bem tranquilo ne?
Quão próximo de deverá estar para que difira de por menos que uma tolerância bem pequeno ?
Vamos lembrar de uma definição importante de limite:
Em palavras mais fáceis e menos assustadoras, a gente tá dizendo que pra existir esse limite:
A gente precisa provar o seguinte:
Que dado um pequeno intervalo ao redor de , há de conseguir achar um valorzinho pra , que qualquer dentro desse outro intervalinho retorne na função um valor dentro do primeiro intervalo .
Na prática, você precisa dessas duas inequações que aparecem ali dentro da caixinha rosa:
se então
Agora aplicando isso na nossa expressão:
se então
Agora nós precisamos achar que atenda essas condições!
Passo 2
Bem, já vimos que:
se então
Assim, devemos achar tal que
se então
Devemos agora procurar uma relação para que satisfaça o exposto acima.
Presta atenção nessa dica! A gente sempre vai começar essa demonstração pela inequação que tem o :
E vamos manipular ela pra chegar na outra inequação. Vamos aplicar raiz cúbica em tudo:
Opa isso aqui tá bem parecido com aquilo que a gente queria encontrar hein, olha só!
A gente tava procurando um valor que atendesse à seguinte inequação:
Assim, se tomarmos , a relação é satisfeita!
No próximo passo provaremos que essa escolha é suficiente para demonstramos o limite.
Passo 3
Se tomarmos , temos que se
Então
Provamos assim que o limite existe e vale .
Resposta
Demonstração.