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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 63

Demonstre que f é contínua em a se e somente se

underset(h -> 0)(lim) f (a + h) = f ( a )

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Bom galera, nessa questão queremos demonstrar o seguinte limite

underset(h -> 0)(lim) f (a + h) = f ( a )

E iremos provar que apenas nessa condição a função f é continua.

Para isso iremos utilizaremos a seguinte propriedade

underset(h -> 0)(lim) f (a + h) = f ( underset(h -> 0)(lim) a + h )

Passo 2

Assim, queremos provar que:

underset(h -> 0)(lim) f (a + h) = f (a)

E, supondo que f é continua:

g (h) = a + h

Que é continua por ser polinomial. Agora observe

underset(h -> 0)(lim) f (a + h) = underset(h -> 0)(lim) f (g (h))

= f (underset(h -> 0)(lim) g (h))

= f (underset(h -> 0)(lim) (a + h))

= f ( a )

Então aqui terminamos nossa prova.

Resposta

Assim, f será contínua em a se underset(h -> 0)(lim) f (a + h) = f ( a ) .

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