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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 36

Prove que a função co-tangente é contínua em seu domínio.

Passo 1

Para provarmos que a função co-tangente é contínua em seu domínio precisamos mostrar que se a for um número real qualquer dentro de seu domínio, temos:

lim x → a ⁡ cot ⁡ x =   cot ⁡ a

Para provar precisamos usar da seguinte relação trigonométrica: cot ⁡ x = cos ⁡ x sin ⁡ x , que pode rescrever nosso limite da seguinte maneira:

lim x → a ⁡ cot ⁡ x = lim x → a ⁡ cos ⁡ x sin ⁡ x =   lim x → a ⁡ cos ⁡ x ∙ lim x → a ⁡ 1 sin ⁡ x

Passo 2

Agora basta provar que as funções cosseno e seno também são continuas se a for um número real qualquer. Assim se individualmente elas são contínuas, a sua combinação como uma função racional também será. Para provar a continuidade vamos usar da seguinte relação:

lim x → a ⁡ f ( x ) = lim t → 0 ⁡ f ( t + a )

Passo 3

Agora vamos provar que a função cosseno é contínua se a for um número real qualquer.

lim x → a ⁡ cos ⁡ ( x ) = lim t → 0 ⁡ cos ⁡ ( t + a )

cos ⁡ ( t + a ) pode ser entendido como a seguinte equação:

cos ⁡ ( t + a ) = cos ⁡ t cos ⁡ a - sin ⁡ t sin ⁡ a

lim t → 0 ⁡ cos ⁡ ( t + a ) = lim t → 0 ⁡ cos ⁡ t cos ⁡ a - sin ⁡ t sin ⁡ a

lim t → 0 ⁡ cos ⁡ ( t + a ) = cos ⁡ ( 0 ) - sin ⁡ ( 0 ) sin ⁡ a

lim t → 0 ⁡ cos ⁡ ( t + a ) = ( 1 ) cos ⁡ a - ( 0 ) sin ⁡ a

lim t → 0 ⁡ cos ⁡ ( t + a ) = cos ⁡ a

Assim está provado que a função cosseno é contínua.

Passo 4

Agora vamos provar que a função seno é contínua se a for um número real qualquer.

lim x → a ⁡ sin ⁡ ( x ) = lim t → 0 ⁡ sin ⁡ ( t + a )

sin ⁡ ( t + a ) pode ser entendido como a seguinte equação:

sin ⁡ t + a = sin ⁡ t cos ⁡ a + cos ⁡ t sin ⁡ a

lim t → 0 ⁡ sin ⁡ ( t + a ) = lim t → 0 ⁡ sin ⁡ t cos ⁡ a + cos ⁡ t sin ⁡ a

lim t → 0 ⁡ sin ⁡ ( t + a ) = sin ⁡ ( 0 ) cos ⁡ a + cos ⁡ ( 0 ) sin ⁡ a

lim t → 0 ⁡ sin ⁡ ( t + a ) = ( 0 ) cos ⁡ a + ( 1 ) sin ⁡ a

lim t → 0 ⁡ sin ⁡ ( t + a ) =   sin ⁡ a

Assim está provado que a função seno é contínua.

Resposta

Como as funções cosseno e seno são contínuas se a for um número real qualquer, a combinação das duas funções como uma função racional é contínua. Então a função co-tangente é contínua desde que a faça parte de seu domínio e então sin ⁡ a ≠ 0 .

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