Encontre o lim x → ∞ ⁡ f ( x ) se

4 x - 1 x < f ( x ) < 4 x 2 + 3 x x 2

Para todo x > 5 .

Passo 1

Olá, meu amigo. Pronto para mais uma resolução? Então bora!!!

Aqui a gente precisa encontrar o limite de uma função f ( x ) , que é limitada. Para situações como essas nós temos o teorema do confronto.

Iremos utilizar o teorema do confronto, que em expressões matemáticas é assim:

f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x )

Se

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

E

lim x → a ⁡ h x = L

podemos afirmar que

lim x → a ⁡ g ( x ) = L

Basicamente, iremos calcular o limite de f ( x ) calculando os limites das funções que o limitam.

Passo 2

Pensando da mesma forma, temos:

lim x → ∞ ⁡ 4 x - 1 x

Vamos rescrever de forma a termos um termo a x n para que possamos simplificá-lo ao levá-lo ao infinito:

= lim x → ∞ ⁡ x 4 - 1 x x

Simplificando o x do numerado e do denominador:

= l i m x → ∞ 4 - l i m 1 x = 4 x → ∞

Vamos agora calcular o limite do limitante superior:

lim x → ∞ ⁡ 4 x 2 + 3 x x 2

Colocando o x 2 para a gente poder simplificar com o do denominador:

= l i m x → ∞ x 2 4 + 3 x x 2

Simplificando o denominador com o numerador:

= l i m x → ∞ 4 + l i m x → ∞ 3 x

= l i m x → ∞ 4 + 0

= 4

Os dois limites são iguais, o que obedece ao teorema do confronto, então:

lim x → ∞ ⁡ g ( x ) = 4

Graficamente a assíntota horizontal de g ( x ) é a reta x = 4

Resposta

lim x → ∞ ⁡ g ( x ) = 4

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