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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.9 - Ex. 10

Seja y = (1)/(x) . Verifique que x^2 (d^3 y)/(d x^3) = 6 (d y)/(d x) .

Passo 1

Para fazer a verificação vamos encontrar a primeira derivada (d y)/(d x) , a segunda derivada (d^2 y)/(d x^2) e a terceira derivada (d^3 y)/(d x^3) e substituir em:

x^2 (d^3 y)/(d x^3) = 6 (d y)/(d x)

Passo 2

Vamos analisar a função, ela é um polinômio, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio para achar (d y)/(d x) :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Agora é só aplicar, vamos lá?

(d y)/(d x) = (d)/(d x) ((1)/(x)) = (d)/(d x) (x^(- 1)) = - 1 * x^(- 1 - 1) = - x^(- 2)

Passo 3

Agora vamos achar (d^2 y)/(d x^2) , e vamos usar a mesma regra:

(d^2 y)/(d x^2) = (d)/(d x) ((d y)/(d x)) = (d)/(d x) (- x^(- 2))^' = - (- 2) * x^(- 2 - 1) = 2 x^(- 3)

Passo 4

E por último vamos achar (d^3 y)/(d x^3) usando a mesma regra novamente:

(d^3 y)/(d x^3) = (d)/(d x) ((d^2 y)/(d x^2)) = (d)/(d x) (2 x^(- 3))^' = 2 * (- 3) * x^(- 3 - 1) = - 6 x^(- 4)

Passo 5

Vamos agora substituir as duas derivadas:

x^2 (d^3 y)/(d x^3) = 6 (d y)/(d x) -> x^2 * (- 6 x^(- 4)) = 6 * (- x^(- 2)) -> x^2 * (- (6)/(x^4)) = 6 * (- (1)/(x^2)) -> - (6)/(x^2) = - (6)/(x^2)

Pronto, verificamos!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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