Seja y = x^2 , onde x = x(t) é uma função derivável até a 2^a ordem. Verifique que

(d^2y) / (dt^2) = 2 * ( (dx) / (dt) )^2 + 2 * x * ( (d^2x) / (dt^2) )

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Para fazer a verificação vamos encontrar d 2 y d t 2 , temos que a derivada segunda de uma função é encontrada derivando duas vezes. Ou seja,

d 2 y d t 2 = d d t d y d t

A dica é: para achar essa derivada vamos usar a regra do produto!

Passo 2

Vamos então primeiro achar d y d t , vamos substituir y = x ⋅ x :

d y d t = d d t x ⋅ x

Agora vamos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

Aplicando:

d y d t = d x d t ⋅ x + x ⋅ d x d t = 2 x d x d t

Agora vamos para segunda derivada!

Passo 3

Vamos agora achar a segunda derivada d d t d y d t usando a mesma regra do produto e a regra da multiplicação por constante:

k f x ' = k f ' ( x )

Aplicando:

d d t d y d t = d d t 2 x d x d t

Derivando,

d 2 y d t 2 = d d t 2 x ⋅ d x d t + 2 x ⋅ d d t d x d t

Ajeitando,

d 2 y d t 2 = 2 d x d t 2 + 2 x d 2 x d t 2

Lembre-se que d d t d x d t é a segunda derivada de x por t .

Pronto, verificado!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados