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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.9 - Ex. 15

Seja y = x 2 , onde x = x t é uma função derivável até a 2 ª ordem. Verifique que

d 2 y d t 2 = 2 d x d t 2 + 2 x d 2 x d t 2

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Para fazer a verificação vamos encontrar d 2 y d t 2 , temos que a derivada segunda de uma função é encontrada derivando duas vezes. Ou seja,

d 2 y d t 2 = d d t d y d t

A dica é: para achar essa derivada vamos usar a regra do produto!

Passo 2

Vamos então primeiro achar d y d t , vamos substituir y = x ⋅ x :

d y d t = d d t x ⋅ x

Agora vamos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

Aplicando:

d y d t = d x d t ⋅ x + x ⋅ d x d t = 2 x d x d t

Agora vamos para segunda derivada!

Passo 3

Vamos agora achar a segunda derivada d d t d y d t usando a mesma regra do produto e a regra da multiplicação por constante:

k f x ' = k f ' ( x )

Aplicando:

d d t d y d t = d d t 2 x d x d t

Derivando,

d 2 y d t 2 = d d t 2 x ⋅ d x d t + 2 x ⋅ d d t d x d t

Ajeitando,

d 2 y d t 2 = 2 d x d t 2 + 2 x d 2 x d t 2

Lembre-se que d d t d x d t é a segunda derivada de x por t .

Pronto, verificado!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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